知识讲解 正态分布(理)[整理]

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1、第 1 页 共 11 页 正态分布正态分布 【学习目标学习目标】 1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 2.了解正态曲线与正态分布的性质。 【要点梳理要点梳理】 要点诠释：要点诠释： 要点一、概率密度曲线与概率密度函数要点一、概率密度曲线与概率密度函数 1概念：概念： 对于连续型随机变量X，位于x轴上方，X落在任一区间（a，b内的概率等于它与x轴、直线 xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分） ，这条概率曲线叫做X的概率密度曲线， 以其作为图象的函数( )f x叫做X的概率密度函数。 2、性质：、性质： 概率密度函数所取的每个值均是非负的。 夹于概率密度的曲线与x轴之间的

2、“平面图形”的面积为 1 ()P aXb的值等于由直线xa，xb与概率密度曲线、x轴所围成的“平面图形”的面积。 要点二、正态分布要点二、正态分布 1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数 正态变量的概率密度函数表达式为： 2 2 () 2 , 1 ( )(R) 2 x xex ， （0, ） 其中 x 是随机变量的取值； 为正态变量的期望；是正态变量的标准差. 2正态分布正态分布 （1）定义 如果对于任何实数,()a b ab随机变量X满足： , ()( ) b a P aXbx dx ， 则称随机变量X服从正态分布。记为 2 ( ,)XN 。 （2）正态分布的期望与方差 若 2 (

3、 ,)XN ，则X的期望与方差分别为：EX， 2 DX。 要点诠释：要点诠释： （1）正态分布由参数和确定。 1 / 11 Remove Demo Watermark from 第 2 页 共 11 页 参数是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。 （2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分布 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如长度测量误差；某一地区同 年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长

4、的小麦的株高、穗长、单位面积产量等； 正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管 的使用寿命等） ；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布 要点三、正态曲线及其性质：要点三、正态曲线及其性质： 1. 正态曲线正态曲线 如果随机变量 X 的概率密度函数为 2 2 () 2 1 ( )(R) 2 x f xex ，其中实数和为参数（ 0, ） ，则称函数( )f x的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 2正正态态曲曲线线的的性性质质： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x对称； 曲线在x时达到峰值 1 2

5、 ； 当x时，曲线上升；当x时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为 渐近线，向它无限靠近. 曲线与x轴之间的面积为 1； 决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿x轴平移。 确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲 2 / 11 第 3 页 共 11 页 线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。 要点诠释：要点诠释： 性质说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴） 性质并且说明了函数具有对称 性；性质说明了函数在 x=时取最值；性质说明越大，总

6、体分布越分散，越小，总体分布越集 中 要点四、求正态分布在给定区间上的概率要点四、求正态分布在给定区间上的概率 1.随机变量取值的概率与面积的关系随机变量取值的概率与面积的关系 若随机变量 服从正态分布 2 ( ,)N ，那么对于任意实数 a、b（ab） ，当随机变量 在区间 （a，b上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线 x=a，x=b 以及 x 轴所围成的图形的面积相等如图 （1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b上取值的概率 一般地，当随机变量在区间（，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在 x=a 左侧以及 x 轴围 成图形的面积，如图（2） 随机变量在（a，+）上取值的概

7、率是正态曲线在 x=a 右侧以及 x 轴围成图 形的面积，如图（3） 根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解 2、正态分布在三个特殊区间的概率值：、正态分布在三个特殊区间的概率值： ()0.683PX； (22 )0.954PX； (33 )0.997PX。 上述结果可用下图表示： 3 / 11 第 4 页 共 11 页 要点诠释：要点诠释： 若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，则X落在(3 ,3 ) 内的概率约为 0.997，落在 (3 ,3 ) 之外的概率约为 0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件 几乎不可能发生。 一

8、般的，服从于正态分布 2 ( ,)N 的随机变量X通常只取(3 ,3 ) 之间的值，简称为 3原则。 3、求正态分布在给定区间上的概率方法、求正态分布在给定区间上的概率方法 （1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间面积为 1。 正态曲线关于直线x对称，与x对称的区间上的概率相等。 例如()()P XP X； ()1()P XaP Xa ； 若b，则 1() () 2 PbXb P Xb 。 (2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ()0.6826PX； (22 )0.9544PX； (33 )0.9974PX。 【典型例题典型例题】 类型一、正态分布的概率密度函数类型一、正

9、态分布的概率密度函数 例例 1. 下列函数是正态密度函数的是（ ） A 2 2 () 2 1 ( )e 2 x P x ，（0）都是实数 B 2 2 2 ( ) 2 x P xe C 2 (1) 4 1 ( )e 2 2 x P x D 2 2 1 ( )e 2 x P x 4 / 11 第 5 页 共 11 页 【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断 【解析】 正态密度函数为： 2 2 () 2 1 ( )e 2 x P x ， 其中指数部分的应与系数的分母处的保持一致，系数为正数且指数为负数 选项 A 有两处错误，分别是2 错为2，指数错为正数选项 C，从系数可得=2，而从 指数

10、处可得2，显然不符选项 D 中指数为正，错误所以正确答案为 B 【总结升华】注意函数 2 2 () 2 1 ( )e 2 x P x 的形式特点是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式 1】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数 2 (10) 8 1 ( )e 2 2 x f x 的图象，则这个正态总体的 均值与方差分别是（ ） A10 与 8 B10 与 4 C8 与 10 D2 与 10 【答案】在该正态分布中，=10，=2，则 E(X)=10，D(X)= 2 =4，故选 B。 。 【变式 2】 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值 和标准差 奎屯 王新敞 新疆 （）),(, 2

11、 1 )( 2 2 xexf x （）),(, 22 1 )( 8 )1( 2 xexf x （） 2 2(1) 2 ( ),(,) 2 x f xex 【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，0.5 【变式 3】正态总体为1, 01 概率密度函数)(xf是 （ ） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 【答案】B。因为所以选 B。 2 2 1 ( ) 2 x f xe 【变式 4】一台机床生产一种尺寸为 10 mm 的零件，现在从中抽测 10 个，它们的尺寸分别如下（单位： mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，

12、10.1如果机床生产零件的尺寸 X 服从正态分 布，求正态分布的概率密度函数式 【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数和即可，而即样本均值，即样本标准 差 5 / 11 第 6 页 共 11 页 依题意得 1 (10.2 10.1 109.89.9 10.39.7 109.9 10.1)10 10 ， 222222 1 (10.2 10)(10.1 10)(10 10)(9.8 10)(9.9 10) 10 22222 (10.3 10)(9.7 10)(10 10)(9.9 10)(10.1 10) 0.03 即10， 2 0.03所以 X 的概率密度函数为 2 50(10) 3

13、10 ( )e 6 x x 类型二、正态曲线类型二、正态曲线 例例 2. 如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总 体随机变量的期望和方差 【思路点拨】 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为 x=20，最大值为 1 2 ，因此，=20，由 11 22 可求得的值 【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x=20 对称，最 大值是 1 2 ，所以 =20 由 11 22 ，解得2 于是概率密度函数的解析式是 2 (20) 4 1 ( )e 2 x P x ，x（，+） 总体随机变量的期望是 =20，方差是 22 ( 2)2 【总结升华】 利

14、用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴 x=，一 是最值 1 2 这两点确定以后，相应参数纵、便确定了，代入 P（x）中便可求出相应的解析 式 举一反三：举一反三： 【变式 1】 关于正态密度曲线性质的叙述： 曲线关于直线 x=对称，整条曲线在 x 轴上方； 曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数； 曲线在 x=时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； 曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定，越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦” 其中叙述正确的有（ ） A B C D 6 / 11 第 7 页 共 11 页 4 3 2 1 -1 -4-224 2 1

15、 【答案】 B 根据曲线关于直线 x=对称，只有当=0 时函数才是偶函数，故错利用排除法选 B 【变式 2】如图，两个正态分布曲线图： 1 为)( 1 , 1 x ，2 为)( 22 x ， 则 1 2 ， 1 2 （填大于，小于） 【答案】，。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【变式 3】如图是三个正态分布 XN（0，0.25） ，YN（0，1） ，ZN（0，4）的密度曲线，则三个随 机变量 X，Y，Z 对应曲线分别是图中的_、_、_。 【答案】。 【变式 4】已知正态总体落在区间, 2 . 0的概率是 05，那么相应的正态曲线在x 时达到最高 点。 【答案】0.2。 由于正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。 类型三、正态分布的计算类型三、正态分布的计算 例例 3已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，P(4)0.84，则 P(0)() A0.16B0.32 C0.68 D0.84 【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决。 【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4) 10.840.16，故选 A. 【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）(0,1)XN，和的值各是多少？（2）( 1,9)XN ，和的值各是多少？ 【答案】 （1）比照 2 ( ,)XN （0） ，(0,1