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1、正方形内的半角模型 22 问 何为半角模型？如图 a，在ABC 中，BAC=2DAE，AB=AC。这种模型就叫做 “半角模型 ”。 “半角模型 ”通常解题的方法是 “旋转”。 【例 1】如图 a，ABC 中，AB=AC，BAC=120，D、E 是 BC 边上的点， DAE=60，BD=5，CE=8，求 DE 的长。 【提示】将，AEC 绕点 A 顺时针旋转 120 得到APB，过点 P 作 PMBC 于点 M，连接 PD（如图 a-1）。 则APDAED，PBM=60。 正方形中的半角模型： 【例 2】已知正方形 ABCD，AB=6，点 P 在对角线 BD 上，AP 交 DC 于点 G，PHD
2、C，PEPA 交 BC 于点 E，PFBC 于点 F，连接 EG 交 PF 于点 N，连接 AN 交 PE 于点 M，EKBD 于点 K，连接 AE 交 BD 于点 Q。则有以下结论： 1 / 5 Remove Demo Watermark from （1）PAE 是等腰直角三角形； （2）EF=FC（四边形 EFHP 为平行四边形）； （3）PB-PD=2BE； （4）EG=EB+DG； （5）BC+BE=2BP； （6）GA 平分DGE； （7）A 到 EG 的距离为定值； （8）EFN 的周长为定值； （9）FH=AP； （10）BAE=BPE； （11）NE=NG=NP（NEP=NPE
3、，NPG=NGP）； （12）KEQ=PEN； （13）APB=AEG； （14）DGE=2AQD； （15）PQ=BQ+PD； （16）AB=2PK（PK=32）； （17）若 BE=2，则 PF=4 且 DG=GC； （18）若EPF=22.5，则 PF=PK； （19）若PEC 是等边三角形，则 PE=63-6（PF=9-33，PD=36-32）； （20）SABE=6，则 SECG=6； （21）若 ANEG，则 PD=62-6； （22）若 ANEG，则 NA-NE=2NP。 【解析】（1）延长 FP（如图 1-1）， 则 PIDH 为正方形， EPF=PAI， EPFPAI， PA
4、=PE，又 PEAP， PAE 为等腰直角三角形； （2）EF=IP=ID=FC，PHEF，故四边形 EFHP 为平行四边形； （3）PB-PD=2BF-2PH =2（BF-PH） =2（BF-EF） =2BE； 2 / 5 （4）将ADG 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABJ（如图 1-2）。 则 AJ=AG，GAE=JAE=45，AE=AE， GAEJAE， JE=EG，JE=JB+BE，JB=DG， EG=EB+DG； （5）BP=BD-PD=2BC-2FC， 2BP=2BC-2FC =BC+（BC-FC-EF） =BC+BE； （6）由（4），AJB=AGE=AGD，故 GA 平分D
5、GE； （7）由（4），AEB=AEG=AGD，故 A 到 EG 的距离=AB=6，为定值； （8）CECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12， EF=FC，FNCG， N 为 EG 中点，CEFN=CECG2=6，为定值； （9）连接 PC（如图 1-3）， 根据对称性， PA=PC，四边形 FCHP 为矩形， PC=FH，PA=FH； （10）BAE+DAG=45， BPE+EPF=45， EPF=DAG（参照（ 1）的证明）， BAE=BPE； 3 / 5 （11）由（8）知，点 N 为 EG 中点，EPG 为直角三角形， NE=NG=NP（NEP=NPE，NP
6、G=NGP）； （12）KEQ=AEB-45=90-BAE -45 =45-BAE=DAG； PEN=EPN=DAG， KEQ=PEN； （13）APB=BPC=45+FPC =45+EPN=45+PEN=AEG； （14）AQD=45+BAE =45+45-DAG=90-DAG =AGD， 2AQD=2AGD=DGE； （15）将ABQ 绕点 A 逆时针旋转 90 得到ADR，连接 RP（如图 1-4）。 则 AR=AQ，RAP=QAP=45，AP=AP， RAPQAP，PQ=PR，RD=BQ； ADR=ADP=45， PDR=90， PR=RD+PD，即：PR=RD+PD； （16）PK=
7、BD-BK-PD =2AB-2BE/2-2PH =2AB-2BE/2-2FC =2AB-（2/2）（BE+2FC） =2AB-（2/2）AB =（2/2）AB， AB=2PK；或 6=2PK，PK=3 2； （17）FC=（6-2）2=2， PI=2，PF=4；设 DG=x，则： （6-x）+4=(2+x)，解得： x=3， GC=6-3=3，故 DG=GC； （18）EPF=22.5， 4 / 5 DAG=BAE=22.5， 则ADGABE，DG=BE， CE=CG，GEC=45， KEG=90， AEP=45，KEQ=PEN（第 12 问）， KEQ=PEN=22.5， PEK=PEF=6
8、7.5， 又 PFEF，PKEK， PK=PF； （19）设 FC=a，则 PI=a，PC=PE=2a， PF=3a，IF=（3+1）a=6， a=6（3+1）=3（3-1）； PE=6（3-1）； PF=33（3-1）=9-33， PD=23（3-1）=36-32； （20）SABE=6， BE=2，由（17），GC=3； EC=4，SECG=342=6； （21）点 N 为 EG 中点，又 ANEG， AG=AE，ADGABE。 DAG=BAE=22.5， EPF=FPC=22.5； PCF=67.5， PBC=45， BPC=67.5， BP=BC=6，BD=62， PD=62-6； （
9、22）由（21），AE=AG，DPG=DGP=67.5， PD=DG=62-6， PDNG，PNDG， 四边形 DGNP 为平行四边形， NP=DG=62-6，NE=NG=PD=62-6； ANGN，ADDG，AG=AG， ADGANG， AN=AD=6， NA-NE=6-（62-6）=12-62， 2NP=2（62-6）=12-62， NA-NE=2NP。 【点评】正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，性质丰富，如果其内部构造了 “垂直模型 ”及“半角模型 ”，则海量等量关系层出不穷。本题从对称轴BD 出发，求 得全等三角形开始，获得线段等量关系：EF=FC=PH，而后步步为营，层层推导，不 断深入，堪为经典题例。 5 / 5
