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1、第 1 页 圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题 1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题、在竖直平面内作圆周运动的临界问题 如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的 情况 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界 Rg 能过最高点的条件：v，当 v时，绳对球产生拉力，轨道对球产生 RgRg 压力。 不能过最高点的条件：vv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道） 。 如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产 生压力 能过最高点 v 临界0，此时支持力 Nmg 当 0v时，N 为支持力，有 0Nmg，且 N 随 v 的增大
2、而减小 Rg 当 v时，N0 Rg 当 v，N 为拉力，有 N0，N 随 v 的增大而增大 Rg 例例 1（99 年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 的水平轴 自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点 和最高点，则杆对球作用力可能是（） A、a 处为拉力，b 处为拉力 B、a 处为拉力，b 处为推力 C、a 处为推力，b 处为拉力 D、a 处为推力，b 处为推力 R绳 图1 v0 v R 图2 v O R杆 图3 b O a 图4 1 / 6 Remove Demo Watermark from 第 2 页 例例 2 长度为
3、L0.5m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 m3.0kg 的小球，如图 5 所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0ms，g 取 10ms2，则此时细杆 OA 受到（） A、6.0N 的拉力B、6.0N 的压力 C、24N 的拉力D、24N 的压力 例例 3 长 L0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点，上端连接着一个质量 m2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运 动（同图 5） ，在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力： 当 A 的速率 v11ms 时 当 A 的速率 v24ms 时 2、在水平面内作圆周运动的临界问题
4、、在水平面内作圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的 （半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及 这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉 力等） 。 例例 4如图 6 所示，两绳系一质量为 m0.1kg 的小球，上面 绳长 L2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45，问球 的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rads 时， 上、下两绳拉力分别为多大？ A L O m 图5 30 45 A B C 图6 2 / 6 第 3 页 例例 5如图 7 所示，细绳一端系着质
5、量 M0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光 滑的小孔吊着质量 m0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最 大静摩擦力为 2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围 m 会处于静止 状态？（g10ms2）说明：说明：一般求解“在什么范围什么范围内”这一类的问题就是要分析两个临界状两个临界状 态态。 3、巩固练习、巩固练习 1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为 10 ms 时，车对桥的压力为车重的 。如果使汽 3 4 车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （） A、15 msB、20 msC、25 msD、30ms 2、如图 8 所示，水平转盘上
6、放有质量为 m 的物块，当物块 到转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张 力为零） 。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的 倍。求： 当转盘角速度 1时，细绳的拉力 T1。 g 2r 当转盘角速度 2时，细绳的拉力 T2。 3g 2r 三、小结三、小结 r o 图8 M r o m 图7 3 / 6 第 4 页 1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。 2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存 在还是不存在以及这个力的方向如何。 答案 例 1分析：答案 A 是正确的，只要小球在最高点 b 的速度大于，其中 L 是
7、杆的长；答案 B 也 gL 是正确的，此时小球的速度有 0v；答案 C、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球 gL 一定是拉力。 例 2 解法：小球在 A 点的速度大于时，杆受到拉力，小于时，杆受压力。 gLgL V0=msms gL10 0.55 由于 v2.0 msms，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。 5 小球受重力 mg 和细杆的支持力 N 由牛顿第二定律mgNm v2 L Nmgm 6.0N故应选B。 v2 L 例 3 解法一：（同上例）小球的速度大于ms 时受拉力，小于ms 时受压力。 55 当 v11msms 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N 5
8、由牛顿第二定律mgNm v2 L Nmgm 16N v2 L 即杆受小球的压力 16N。 当 v24msms 时，小球受向下的重力 mg 和向下的拉力 F 5 由牛顿第二定律mgFm v2 L Fm mg44N v2 L 即杆受小球的拉力 44N。 解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或 者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球 A，则小球 的受力就是上面解法中的的情形。 N mg mg F 4 / 6 第 5 页 由牛顿第二定律mgFm v2 L 得到Fm（g） v2 L 当 v11ms 时，F116NF1为负值，说明
9、它的实际方向与所设的方向相反，即小 球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。 当 v24ms 时，F244N。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小 球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。 例 4解析：当角速度 很小时，AC 和 BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。当 逐渐增大到 30时，BC 才被拉直（这是一个临界状态） ，但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为 1，则有： TACcos30mg TACsin30m12Lsin30 将已知条件代入上式解得12.4 rads 当角速度 继续增大时 TAC减小，TBC增大。设角速度达到 2时，TAC0（这又是一个临界 状
10、态） ，则有：TBCcos45mg TBCsin45m22Lsin30 将已知条件代入上式解得23.16 rads 所以所以当当 满足满足 2.4 rads3.16 rads，AC、BC 两绳始终张紧。两绳始终张紧。 本题所给条件3 rads，此时两绳拉力 TAC、TBC都存在。 TACsin30TBCsin45m2Lsin30 TACcos30TBCcos45mg 将数据代入上面两式解得TAC0.27N，TBC1.09N 注意：注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小） 。 如果 2.4 rads 时，TBC0，AC 与轴的夹角小于 30。 如果 3.16rads 时，TAC0，BC 与轴的夹
11、角大于 45 例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态： 当 为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向 M r o m 图7 5 / 6 第 6 页 背离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。 有 TfmM12r 且 Tmg 解得 12.9 rads 当 为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着 圆心，大小还等于最大静摩擦力 2N。 再对 M 运用牛顿第二定律。 有 TfmM22r 解得 26.5 rads 所以，题中所求 的范围是：2.9 rads6.5 rads 6 / 6
