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1、由传递函数转换成状态空间模型方法多方法多! SISO 线性定常系统线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO mnubububyayayay m mm n nnn 1 10 2 2 1 1 假设 )( 2 2 1 1 1 10 n nnn m mm asasas bsbsb sG 1 mn 外部描述 实现问题：有了内部结构模拟系统 内部描述 SISO ducxy buAx x 实现问题实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、一、直接分解法直接分解法 因为 1 011 1 11 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 1 mm mm nn nn Y sZ sZ
2、sY s U sZ sU sZ s b sbsbsb sa sasa )()()( )()()( 1 1 1 1 1 10 sZasasassU sZbsbsbsbsY nn nn mm mm 对上式取拉氏反变换，则 zazazazu zbzbzbzby nn nn mm mm 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 0 按下列规律选择状态变量，按下列规律选择状态变量，即设，于是有 )1( 21 , n n zxzxzx uxaxaxax xx xx nnnn1211 32 21 1 / 8 写成矩阵形式 u x x x x aaax x x x n n nn n n n I 1 0 0
3、0 0 0 1 2 1 11 1 1 2 1 式中，为阶单位矩阵，把这种标准型中的 A 系数阵称之为友阵友阵。 1n I1n 只要系统状态方程的系数阵 A 和输入阵 b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任 意，则称之为能控标准型能控标准型。 则输出方程 121110 xbxbxbxby mmnn 写成矩阵形式 n n mm x x x x bbbby 1 2 1 011 分析分析阵的构成与传递函数系数的关系阵的构成与传递函数系数的关系。cbA , 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态 空间模型的 A、b、c 矩阵的所有元素。 例：已知 SISO 系统的传递函数如
4、下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 423 83 )( )( 23 sss s sU sY 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即 u x x x u x x x aaax x x 1 0 0 324 100 010 1 0 0 100 010 3 2 1 3 2 1 1233 2 1 3 2 1 3 2 1 012 083 x x x x x x bbby 2 / 8 若选择状态变量若选择状态变量满足下列条件（如何考虑？） T n xxxx 21 ubububyayayx ubububyayayx ububyayayx ubyayx yx m mm n nn m mm n nn n n
5、 n )2( 1 )1( 0 )2( 1 )1( 1 1 )3( 1 )2( 02 )3( 1 )2( 2 10212 011 考虑式 mnubububyayayay m mm n nnn 1 10 2 2 1 1 设系统的输出，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并 n xy 带入第三式；依次类推，便得到 ubxaxx ubxaxx ubxaxx ubxax nnn nnn mnn mnn 011 1221 1112 1 写成矩阵形式 u b b b b x x x x a a a a x x x x m m n n n n n n n I 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1
6、1 2 1 00 n n x x x x y 1 2 1 1000 式中，为阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的 A 阵和 c 阵具有上 1n I1n 式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型能观标准型 从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵 A 是互为转置，能控标准 型输入阵 b 和能观标准型输出阵 c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶对偶 3 / 8 关系。关系。将在第六章进一步讨论。 通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入 系统而言，应注意如下问题： （1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由 传递函数阵的极点（特征）
7、多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式 只影响输出方程的结构。 （2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵 A 的元素仅决定于传递函数 极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵 B 的元素。 （3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即，状态空间表达nm 式的输出方程中才出现项，否则为零阵。DuD 例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即 u x x x x x x 0 8 3 310 201 400 3 2 1 3 2 1 T xxxy 321 100 二、二、串联分解法串联分解法 若 SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因
8、式相乘形式 12 12 ()()()( ) ( )() ( )()()() m n K szszszY s G snm U Sspspsp 例： 12 123 12 123 2312 123 ()()( ) ( ) ( )()()() 11 K szszY s G s U Sspspsp szszK spspsp zpzpK spspsp 图示！图示！ 4 / 8 3 2 1 2132 3 2 1 1 2 213 3 2 1 1 0 0 00 0 x x x kpzpzy u x x x p kp kpzp x x x 三、三、并联分解法（对角标准型并联分解法（对角标准型/约旦标准型约旦标准型
9、特征值标准型）特征值标准型） （一）若 SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型对角标准型的模型。 当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式 12 12 ()()()( ) ( )() ( )()()() m n K szszszY s G snm U Sspspsp 写成部分分式 n i i i n n ps c ps c ps c ps c sU sY sG 1 2 2 1 1 )( )( )( 其中，为待定系数，其值为 i cni, 2 , 1 )(lim i s i pssGc i 选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）画图示意状态变量的取法） , )(
10、)( i i ps sU sX ni, 2 , 1 即 )()()(sUsXpssX iii 对上式拉氏反变换，得 uxpx iii 即 uxpx uxpx uxpx nnn 222 111 5 / 8 写成矩阵形式 u x x x p p p x x x nnn 1 1 1 2 1 2 1 2 1 式中，系数矩阵 A 为对角阵。对角线上的元素是传递函数 G（s）的极点，即系 统的特征值。b 阵是元素全为 1 的 n1 矩阵。 求对角标准型模型的输出方程中 c 的结构 )()( 1 sU ps c sY n i i i )()()(sXpssU ii n i ii sXcsY 1 )()( 对
11、上式拉氏反变换，得 T nnii xxxcccxcy 2121 如果系统的状态方程的 A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多 变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制 将在第五章讨论。 系统的状态结构图如图所示。 例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换 6116 86 )( )( )( 23 sss s sU sY sG 解：将用部分分式展开)(sG 321)3)(2)(1( 86 )( 321 s c s c s c sss s sG 从而可得的极点为互异的，求待定系数)(sG3, 2, 1 111 i c 1 )3)(2( 86 l
12、im)(lim 1 11 1 ss s ssGc ss 6 / 8 4 )3)(1( 86 lim)(lim 2 22 2 ss s ssGc ss 5 )2)(1( 86 lim)(lim 3 33 3 ss s ssGc ss 得对角标准型的转换为 u x x x x x x 1 1 1 300 020 001 3 2 1 3 2 1 T xxxy 321 541 （二）对 SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型约当标准型的状态空 间模型。 此时模型的系数矩阵 A 中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相 对应的约当块，即 i i i i J 1 1 设系统具有一个重特
13、征值，其重数为 j，而其余为互异的特征值，记为 1 ，则传递函数可以用部分分式展开成 nj , 1 )()()( )()()()( )( 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 11 n n i i j j j i i jj ps c ps c ps c ps c ps c ps c ps c sG 式中，待定系数对应的是重极点的待定系数，其值为 j ccc 11211 , )(lim )!1( 1 1 )1( )1( 1 1 j i i s i pssG ds d i c 其余互异根的待定系数求法同前。), 2, 1(njjici 画图示意状态变量的取法：画图示意状态变量的取法： 7 / 8 例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型 ) 1)(2()3( )5(3 )( )( )( 2 sss s sU sY sG 解：从已知系统地传递函数可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为)(sG j=2，有两个互异的极点，即1, 2, 3 4321 按部分分式展开 12)3()3( )( 4312 2 11 s c s c s c s c sG 求重极点对应的待定
