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1、第八章 欧式空间基础训练题1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量a，b，以下等式成立：(1) ； (2) a，b .提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.2. 在欧氏空间R4中，求一个单位向量与a1(1, 1, 0, 0)，a2(1, 1, 1, 1)，a3(1, 1, 1, 1)都正交.解:=.3. 设a1, a2, , an是n个实数，证明:.证明: 令a=(1,1, ,1), b=(|a1|,|a2|, |an|)a , b=|a|b |=.4. 试证，欧氏空间中两个向量a, b正交的充分必要条件是：对任意的实数t，都有|atb| |a|.证明: a +tb,a +tb=a ,
2、 a+2ta , b+t2b , b必要性: 设a与b正交, 对任意的实数t ,则a +tb,a +tb=a , a+t2b , ba , a所以 |atb| |a|.充分性: 当b=0时,结论成立.当b0时,取t0=,则a +t0b,a +t0b=a , a. 由已知 a +t0b,a +t0ba , a故 =0, 所以a , b= 0. 即a , b正交.5. 在欧氏空间R4中，求基a1, a2, a3, a4的度量矩阵，其中 a1(1, 1, 1, 1), a2(1, 1, 1, 0), a3(1, 1, 0, 0), a4(1, 0, 0, 0) . 解: 度量矩阵为.6. 在欧氏空间
3、R3中，已知基a1(1, 1, 1), a2(1, 1, 0), a3(1, 0, 0)的度量矩阵为B求基e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)的度量矩阵. 解: 度量矩阵为 .7. 证明a1， a2a3，a4是欧氏空间R4的一个规范正交基. 提示:令u=(a1, a2, a3, a4),计算uuT即可.8. 设e1, e2, e3是欧氏空间V的一个基, a1e1e2, 且基e1, e2, e3的度量矩阵是A.（1）证明a1是一个单位向量；（2）求k,使a1与b1e1e2ke3正交.证明: (1) e1 , e1=1, e1 , e2=, e2 , e2=2
4、a1 , a1=e1 , e1+2e1 , e2+e2 , e2=1所以a1一个单位向量. （2）k=.9. 证明，如果e1, e2,en是欧氏空间V的一个规范正交基，n阶实方阵A(aij)是正交矩阵，令(h1, h2,hn)(e1, e2,en)A,那么h1, h2,hn是V的规范正交基. 证明: hi,hj= .10. 设A是n阶正交矩阵，证明：（1）若detA1，则1是的一个特征根；（2）若n是奇数，且detA1，则1是A的一个特征根. 证明:（1）det(IA) = det(A ATA) = detAdet(ATA)= detAdet(IA)=det(IA)所以det(IA)=0,即1
5、是的一个特征根. （2）= det(A ATA) = detAdet(ATA)= detA(-1)ndet(IA) =det(IA)所以det(IA)=0, 即1是A的一个特征根.10. 证明，n维欧氏空间V的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是一个正交变换. 提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵,结论易证.11. 证明，两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定是.例如:令e1 , e2是R2的一个规
6、范正交基,分别取R2 的两个对称线性变换,使得（e1 , e2） ，（e1 , e2） ，可以验证不是对称变换. 两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换.12. 设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果s满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（1）s是正交变换；（2）s是变换；（3）s2i（i是恒等变换）.提示:根据s是正交变换当且仅当s在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵, s是对称变换当且仅当s在一个规范正交基下的矩阵是对称矩阵, 结论易证.13. 设s是n维欧氏空间V的线性变换，若对于任意a, bV, 有s(a), ba, s(b)，则说s是斜对称的. 证明
7、(1) 斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称实矩阵；(2) 若线性变换s关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的，则s是斜对称线性变换. 提示:证明过程与第八章第三节定理8.3.2(p.349)的证明过程完全类似.14. 设s是欧氏空间V到V 的一个同构映射，证明，如果e1, e2, , en是V的一个规范正交基，则s(e1), s(e2), , s(en)是V 的一个规范正交基. 证明:由(p.253) 定理5.5.3可知, s(e1), s(e2), , s(en)是V 的一个基.由欧氏空间同构映射的定义可知,s(ei), s(ej)= ei, ej= ,所以结论成立.15. 设
8、s是n维欧氏空间V的一个正交变换. 证明，如果V的一个子空间W在s之下不变，那么W的正交补也在s之下不变. 证明:因为正交变换是可逆线性变换,由(p.331)习题七的第13题的结论得: V= .因为,且s是正交变换,所以.由已知条件知,且s可逆,因而从而 ,即.16. 设e1,e2,e3,e4是欧氏空间V的一个规范正交基，WL (a1, a2),其中a1e1e3，a22e1e2e4.（1）求W的一个规范正交基；（2）求W的一个规范正交基. 解:取a3=e2, a4=e3,将a1, a2,a3,a4先正交化,然后规范化后得V的一个规范正交基:b1b2b3b4则b1,b2和b3,b4分别是W与W的
9、一个规范正交基. 17. 求齐次线性方程组.的解空间W的一个规范正交基，并求W. 解: 经计算,得空间W的一个基础解系为a1=,a2=将a1, a2扩充为R4的一个基a1, a2, a3=,a4=将a1, a2,. a3, a4规范正交化后得W的一个规范正交基b1 =, b2 =, b3=, b4 =那么b1,b2和b3,b4分别是W与W的一个规范正交基且W=(b3,b4).18. 已知R4的子空间W的一个基a1(1, 1, 1, 1)，a2(0, 1, 1, 0)求向量a(1, 3, 1, 3)在W上的内射影. 解:易求得W的一个基a3=(1,0,0,1), a4=(2, 1,1,0)则a1, a2, a3, a4是R4的一个基.a(2a1a2) +(3a3+0a4)所以a在W上的内射映为2a1a2 .19. 对于下列对称矩阵A，各求出一个正交矩阵U，使得UTAU是对角形式：(1) A，(2) A.解:（1） (2)
