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1、1,第三章 线性系统的运动分析,1 线性定常系统的运动分析,2 线性时变系统的运动分析,3 线性连续系统的时间离散化,4 线性离散系统的运动分析,2,第一节 线性定常系统的运动分析,一 零输入响应(自由运动的状态解）,仿照标量函数 的解为 x = eat x0,对A定义矩阵指数函数,结论：线性定常系统零输入响应X(t)具有如下形式,X (t)= e At X0 = (t ) X0，t0,(t )又称为系统的状态转移矩阵。,其中,3,推论:,1)零输入响应的几何表征：X (t )即为状态空间中由初态X0出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹.,2)零输入响应的运动属性：X (t )属于由偏离系统平
2、衡状态的初态 X 0 引起的自由运动.,3)零输入响应的形态：即自由运动轨迹的形态,仅由矩阵指数e At唯一确定，表明e At=(t)即系统矩阵A包含了自由运动形态的全部信息.,4)零输入响应趋向平衡状态X=0的属性：当且仅当 时,自由运动轨迹最终趋向于平衡状态X e =0，这一属性在控制理论中，称为渐近稳定,上述条件为线性定常系统渐近稳定的充要条件.,5)零输入响应的计算：计算X (t )的核心是计算矩阵指数e At.,6)零输入响应表达式的一般形式：当t00时,4,二 矩阵指数- 状态转移矩阵(t)的性质,1)(0) = I,2) , (t)与A满足交换律.,3)(t1+t2) =(t1)
3、(t2).,4) (t) -1 =(-t) ，(t)的逆为时间的逆转,系统的状态转移具有双向性.,5)(t2-t1)(t1-t0) =(t2-t0)，状态的多步 (或一步) 转移等效为一步(或分解成多步) 转移.,6) (t) k = (k t ).,7) 若nn矩阵A和B，满足AB=BA，则 e (a + b) t =e At e Bt,5,三 几个特殊的状态转移矩阵,1) 若A为对角线阵,则,6,2)若A为一个mm的约当块,则有,7,3)若A为一约当矩阵，,其中，A1，A2Aj 为约当块，则,12j 为每一约当块的转移矩阵,8,4) 若A 能通过非奇异变换阵P 化为对角阵，即 P-1AP=
4、，则 e At = P et P,5) 若,则,9,四 状态转移矩阵的求法,1)直接法按定义直接计算,2)拉氏变换法,3)化A为标准型法,A的特征值互异时,A有重特征值时,10,4) 化e At 为A的有限项法, Cayley-Hamiltion定理: 设A为nn方阵,则A满足其自身的特征方程即若,则,可见An可由An-1、An-2A、I 线性组合来表示., 化e At 为 A 的有限项,对e At 的无穷项中的An,An+1,An+2均可An-1,An-2A,I 线性组合来表示，则,A的特征值互异时,11,A有重特征值时，设1有r 重特征值，其它均为值，则,12,六 线性定常非齐次方程 的解
5、,1)数学特征：(t)和 u (t) 对X2(t) 的影响在时序上是对偶的;,2)几何特征：在 t0= 0 时,Xu(t) 代表u(t) 作用下的等价状态，X2(t)代表状态空间中由各时刻输入作用等价状态的转换点构成的一条轨迹.,3）运动属性：输入作用下的强迫运动。X2(t)的形态在稳态过程中同于输入函数结构，在动态过程中则同时依赖于系统特性和输入作用。,注意：系统状态运动由“输入作用下的受控项”和“初始状态转移项”叠加而成，正是受控项的存在使得有可能通过选取输入来改善状态的运动行为和性能(以避免有害运动过程如不稳定)，或使状态轨迹满足期望的性能指标。,多样线性定常系统非齐次方程解的一般形式：
6、,系统的响应有两部分组成：零输入响应X1(t )和控制作用下的受控项（零状态响应）X2(t ) 。对X2(t) 的讨论如下：,13,第二节 线性时变系统的运动分析,线性时变系统的状态空间表达式:,一 线性时变齐次方程 的解,1 设X(t0) 为已知,且在t0,t的时段内，A (t)的各元素是t 的分段连续 函数，若对任意的t1和t2，满足A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)，则A(t)与 是可交换的，即 ,故得,其中，状态转移矩阵为,注意: (t,t0) 是和(t-t0) 有差别的, (t,t0) 依赖于”绝对时间”，t0选得不同，结果也不同；(t-t0)依赖于”相对时间”，即使t0选得
7、不同，结果乃相同； 可以将(t-t0)写成闭合得形式，而(t,t0) 一般难以写成闭合形式.,14,2 当不满足A(t1)A(t2) =A(t2)A(t1) 时,为一无穷级数之和。,1),3),2),三 线性时变系统非齐次方程的解,说明：由于确定(t,t0)困难，上式主要在于理论分析用，通常对线性时变系统状态运动采用数值方法求解，已有专门求解程序.,二 线性时变系统的状态转移矩阵(t,t0)的性质,15,第三节 线性连续系统的时间离散化,连续系统,采样器,保持器,D/A 数字计算机 A/D,Y(k),u(t),X(t),Y(t),u(k),X(k),一 基本约定,1)采样方式：取以常数T为周期
8、的等间隔采样,采样时间宽度远远小于T,分析中视=0，则 y(k) =y(t)，t = kT y(k) =0 ，t kT,2)采样周期T：基于保证离散化变量在理论上可复原的要求， T的选择要符合采样定理，即 s2m , 其中 m为连续信号幅频谱的上限频率，s2/T，实际上取T=(0.10.05)/ s 。,3)保持方式：为使离散化描述关系式和推导过程简单化,通常采用 零阶保持方式,在采样瞬时保持器输出u(t)的分量 u j(t) = u j(k)；在两个采样瞬时的区间上， u j (t)值保持前一采样瞬时的大小。,16,二 基本结论,1)线性连续时变系统离散化,得,其中,式中，T为采样周期；l=
9、(t-t0)/T为取整得到的正整数；(.,.)为连续时变系统的状态转移矩阵。,17,2) 线性定常连续系统,离散化描述,其中,3)说明,时间离散化不改变系统的时变或时不变的属性;,对线性连续系统,不论其是时变还是定常,也不管A(t)和A为奇异或非奇异,对离散化的系统矩阵G(k)和G必为非奇异.,G,H是与T有关的，当T小到只有系统最小时间常数的十分之一左右时系统时间离散化状态方程可以进一步简化为 X (k+1) = (TA+1)X(k) + TBu(k) =G X(k) + Hu(k),18,第四节 线性离散系统的运动分析,1) 叠代法,对线性离散系统,给定X(0)=X0和各采样时刻的输入u(
10、0), u(1), u(2) 逐步代入状态方程即可。,如对定常系统：,k=1: X(1)=GX(0)+Hu(0),k=2: X(2)=GX(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1),k=k-1:,定义 (k) =(kT) =G k 为线性定常离散系统的状态转移矩阵，则,注意：叠代法易编程，但引人误差会在叠代中造成积累性误差。,19,当 t 00，t0 = h 时，,注意：,离散系统的求解公式与连续系统在形式上类似，但不同的是,离散系统在状态空间是一条离散轨迹；,在k 时刻的状态，只与该时刻以前的输入采样值有关，与该时刻的输入无关，这说明惯性是实际物理系统的基本特性；,(k)=G
11、 k 或(k-h) =G (k-h) 满足： (k+1)=G(k) ； (0)=I ；(k-h)=(k-h1)(h1-h) ； -1(k)=(-k),对于一般的(k) =G k 不易求出，须先用线性变换转为对角线型， 即先求 然后求 。,20,2) Z变换法,可见,3)离散系统的状态转移矩阵,直接法:,(k)=G k, 方法简单,但不易得到(k)的封闭式;, Z变换法,化G为标准形法,当特征根为单根时, (k)=G k=PkP -1，为对角线标准型。,当特征根有重根时, (k)=G k=PJ kP -1， J 为约当标准型。,化G k为G 的有限项法,(k)=G k=a0(k)I+a1(k)G
12、+a2(k)G 2+an-1(k)Gn-1,21,本章小结,1定位：对线性系统运动规律的定量分析,是研究后续内容的基础。,2运动分析的实质：在数学上，根据X(t0)和u(t)，建立反映因果关 系的解析解；在物理上，定出由X(t0)出发的状态运动轨道，这运 动轨道可看成为由“X(t0)经(t)在各时刻值阵的变换点构成的轨迹” 和“各时刻u(t)作用等价状态经(t)在各时刻值阵的变换点构成的 轨迹“的合成。,3状态响应：线性连续时变和定常系统的响应表达式在形式上的差别在于定常系统为（t-t0），时变系统为（t,t0）。相比之下线性离散系统的分析结果只反映采样时刻上状态响应的形态。,4 线性连续系统的时间离散化：时间离散化的实质是建立相应于 连续时间系统的离散化状态空间描述注意离散化的系数矩阵的特 点和表达形式。,5 计算问题：对离散系统，不管定常或时变，归结为矩阵的代数运 算，不存在计算上的困难；对连续系统，归结为确定(t)，这对时 变系统将是一件困难的任务。,
