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1、1,第五章 系统的稳定性,稳定性属于系统的基本结构特性。,BIBO输入输出稳定性,由状态空间描述的内部稳定性 适用于各类系统。,2,第一节 LIAPUNOV稳定性定义,一.系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定 性偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态系统偏差量过渡过程的收敛性。,1）自治系统不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。即,2）平衡状态状态空间中满足 属性的一个状 态,3,说明:,自治系统的平衡状态Xe一般是不唯一的。,对自治系统大多数情况下，Xe0必为系统的一个平衡状态，称为零平衡状态。,当平衡状态为彼
2、此分隔的孤立点时，称为孤立平衡状态。其特性为：可通过移动坐标系转换为零平衡状态。,liapunov稳定分析中主要针对孤立平衡状态，即Xe0。,3）受扰运动自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。,范数 表示初始偏差都在以Xe 为中心，为半径的闭球域S()内., 表示X 0u偏差都在以Xe 为中心，为半径的闭球域S()内,4,二.Liapunov意义下的稳定性,1)定义：若对于任意给定的实数0,都对应存在另一依赖于和t 0的实数(,t 0) 0,使符合 的任一出发的受扰运动都满足:,S (),S(）,X0u(t),X0,Xe,H ()
3、,几何意义：由域S(）内任意一点出发的运动轨线X0u(t)对所有t t 0时刻都不越出域的边界H ()。,若定义中(,t 0)与t 0无关，则X e 称为liapunov意义下一致稳定。,则称X e =0在t 0为liapunov意义下稳定的。,若线性定常系统的平衡状态X e 是liapunov意义下稳定的,则必为liapunov意义下一致稳定。,2)说明：,liapunov意义下稳定只能保证系统受扰运动相对X e的有界性 ，不能保证相对X e的渐近性。,5,三.渐近稳定,1)定义：若由任一初态X 0S () 出发的受扰运动X 0u(t) 相对于 X e =0 对所有 t t 0 均为有界，
4、X 0u(t) 满足 ，则称自治系统的孤立平衡状态X e0 在t 0 为渐近稳定的。,2）说明：,渐近稳定反映X 0u(t)相对于 X e 随时间变化的渐近性。,若定义中(,t 0)与t 0无关，则X e 称为一致渐近稳定。,定常系统中X e 的渐近稳定和一致渐近稳定等价。,不管初始偏差X 0有多大， X e 均为渐近稳定的，则X e 必为大范围渐近稳定的。,大范围渐近稳定的必要条件是系统在状态空间中不存在其他渐近稳定的平衡状态。,若线性系统的X e 为渐近稳定，则必为大范围渐近稳定。,Liapunov意义下的渐近稳定即为工程意义下的稳定。,6,四 不稳定,若系统的平衡状态X e既不是渐近稳定
5、的，也不是稳定的，当 t t 0并无限增大时，从初始偏差X 0出发的运动轨迹最终会超越 S ()域，则称X e是不稳定的。,7,第二节 Liapunov第一法,思路：,通过用微分方程的解的性质来判断系统的稳定性。,对线性系统(A,b,c)：,X e 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值具有负实部。,输出稳定(有界输入输出有界)的充要条件是传递函数 G(s)=c(sI-A)-1b 的极点具有负实部。,对非线性系统,当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将其在Xe 领域内展开成泰勒级数 ，作线性化处理。,式中，R(X)为高价导数项，,称为Jacobian 矩阵,8,
6、令X=X Xe，,可得系统的线性化方程,若A阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态X e是渐近稳定的，且系统稳定性与R(X)无关。,若A阵的特征值至少一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态X e是不稳定的,若A阵的特征值至少一个零实部，则原非线性系统的平衡状态X e稳定性取决于高价导数项R(X)， A阵的特征值无法确定。,9,第三节 liapunov第二法,1 基本思想：,不用求解微分方程，而用“能量”变化的观点来分析系统的稳定性。若系统储存的“能量”在运动中是逐步减少的，则系统是稳定的，否则是不稳定的。这种方法给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。,注意
7、：,此处的“能量”对系统而言无直观性，因此是“广义能量函数”的概念，用V (X)表示，V (X)是标量函数。,2 V (X)的符号性质：,设X 为状态空间的非零向量，V (X)是X 的标量函数，且X=0时V (X)=0，,当X 0时：,若 V (X) 0，则称V (X)是正定的； V (X) 0，则称V (X)是半正定的； V (X) 0，则称V (X)是负定的； V (X) 0，则称V (X)是半负定的； V (X)0，或V (X) 0，则称V (X)是不 定的。,10,3 二次型标量函数V(X)的符号性质：,含义：表达式中每一项的X 的阶次均为二次。,表达形式：,若D = D T 称D为实
8、对称阵。,二次标准型：,V (X)= X TDX 的符号性质：,a. V (X)或对称阵 D 为正定的充要条件是D 的主子行列式均为正；,b. V (X)或对称阵 D 为负定的充要条件是D 的主子行列式满足： i 0 (i为奇数 )； i (i 为偶数 )， i 1,2,3,4,11,4 Liapunov稳定性定理,（1）V (X)是正定的， 是负定的，则X e = 0是渐近稳定的 ，若随着 ，有 ，则X e = 0是大范围渐近稳定的 。,设系统的状态方程为 若能构造出对X 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V (X)，V (0)0，且对状态空间中所有非零状态点X满足如下条件：,（2) V (X
9、)是正定的； 是半负定的；对任X00 ， 不衡为零，当 ，有 ，则X e = 0是大范围渐近稳定的 。,注意：条件“ 负定 ”对很多系统而言，要求偏于苛刻，且为构造V (X)带来困难，故对这一条件可适当放宽。,注意：在物理上放宽条件的直观意义是，允许系统运动过程在某些状态点上“能量”速率为零，而又不互为零， 则就保证受扰运动过程能够脱离这类状态点而继续收敛到原点平衡状态。按这一条件选V (X) 也容易一些。,围绕状态空间原点的一个吸引区,在域内,在域内,式中， 表示从X0出发的受扰运动的解轨迹。,12,(3) V (X)是正定的； 是负定的，但在某一X值衡为零 ，则系统在Xe =0处是Liap
10、unov意义下是稳定的，但非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态。,(4). V (X)在Xe =0的某一个领域内是正定的； 在同样的领域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 。,13,第四节 线性系统的稳定性分析,设线性定常自治系统为 ,x e0为平衡状态。,1.线性定常系统稳定性判据,(1) 特征值判据：x e0为Liapunov意义下稳定的充要条件为矩阵A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根； x e0为渐近稳定的充要条件为矩阵A的特征值均具有负实部。,(2) Liapunov判据：系统的 x e0为大范围渐近稳定的充要条件是, 给定一个
11、正定对称阵Q，存在一个正定对称阵P，使矩阵方程 ATP +P A=Q 。此时的标量函数V (X )=X TPX 称为Liapunov函数.,说明：,正定对称阵Q可任意给定，且最终判断结果与Q的选取无关,故通常取Q = I (单位阵)，即矩阵方程变为：ATP +P A=I,若 沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取半负定。,14,2 线性时变系统的稳定性判据,（2）Liapunov判据：在平衡点Xe=0 处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的连续对称正定阵Q(t )，存在一个连续对称正定阵P (t )，使得 其中系统的Liapunov函数为V (X)=XT(t )P (t )X (t ),(
12、1)基于状态转移矩阵的判据：线性时变系统的状态转移矩阵为(t ,t 0)，则系统X e 0 在t 0 是Liapunov意义下稳定的充要条件为，存在依赖于t 0的一个实数(t 0)0，使成立：,线性时变系统 ，X(t 0)=X 0，一般，除是系统的一个平衡状态外，还存在非零平衡状态X e 。,；,X e 0 在t 0 是渐近稳定的充要条件除上叙之还要满足：,15,3 线性定常离散系统的稳定性,线性定常离散系统的自治方程为X (k +1)=G X(k)， X(0)=X0，k=1,2, 若G 为奇异，则除Xe 0外，还有非零平衡状态，若G 为非奇异，则 X e0为唯一平衡状态。,(1) X e0是
13、Liapunov意义下稳定的充要条件是G的全部特征值 i (G)1，且等于1的特征值只能为G 的最小多项式的单根。,（2）X e0渐近稳定的充要条件是G 的全部特征值 i (G)1，,（3） X e0渐近稳定的充要条件是对任一给定的正定对称阵Q，离散型Liapunov方程 G TPG P =Q 有唯一正定对称解阵P .,16,说明,（1）Liapunov直接法的关键是寻找满足定理条件的Liapunov函数V(X)；,（2） V(X)找不到并不说明系统的平衡状态不符合稳定结论，因此， V(X)的寻找需要经验。,（3）对非线性系统， Liapunov直接法给出的是充分条件，往往因找不到Liapun
14、ov函数，无法判断系统平衡状态的稳定性。因此，在讨论非线性稳定时，采用两种途径进行：一是选择某种特殊函数（如，变量梯度法，雅克比矩阵法等）作为Liapunov函数；二是针对特殊非线性系统的线性近似法等。,（4）在非线性系统中，Xe不是大范围渐近稳定却可能是局部稳定的；状态局部不稳定并不能说明系统就是不稳定的。由于非线性系统的稳定性具有局部性，因此，在寻找Liapunov函数时，需要确定平衡点周围邻域的最大稳定范围，即满足稳定性条件的Liapunov函数在适用范围上是有界限的。,17,本章小结,1）本章定位：稳定性是表征系统运动行为的一类重要结构特性。是系统能够正常运行的前提。本章偏重讨论Lia
15、punov直接法，这一方法是现今控制理论研究稳定性问题的最基本工具。,2）两类稳定性：外部稳定性（BIBO稳定性)；内部稳定性（由状态空间描述的系统自治运动的稳定性）。对线性定常系统，前者为传递函数矩阵的所有极点均具有负实部，后者为系统特征值均具有负实部，若系统既能观由能控，则两者等价。,3）liapunov直接法：给出系统大范围渐近稳定的充分性判据。判据的核心是构造一个liapunov函数V(X)0， 0或 ，且当 时 ，这一方法实用于所有系统。,4）V(X)的构造方法：构造V(X)是liapunov直接法的关键和难点。对较简单系统，可采用一些规则化方法构造，对复杂系统，至今仍采用基于经验的
16、试凑方法。,18,5）线性定常系统的liapunov判据：对连续系统，归结为对A和任给正定阵Q，求解 PA+ATP= -Q 并判别P阵的正定性。对离散系统，归结为对G和任给正定阵Q，求解 GT PG -P= -Q 并判别P阵的正定性。 这是一个充要判据，主要用于系统分析和系统综合。,6) 稳定性的鲁棒分析：鲁棒分析讨论线性定常系统在参数摄动情况下稳定性的判别准则和保持条件。这是在稳定性研究领域出现的一个新的生长点和热点问题。其研究途径包括矩阵范数分析和特征多项式区间分析。在范数分析法中，针对系统矩阵的加性或乘性摄动和通过引入相应匹配条件，建立使系统稳定的条件；在特征多项式区间分析中，着重于讨论多项式系数区间摄动下保持稳定的有限或最小检验问题，其中最基本的结果是Haletonov定理。,书中还讨论了稳定性和系统动态特性的一些关系。,
