《概率论与数理统计第四版课后学习资料第三章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第四版课后学习资料第三章课件（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,在某些实际问题中, 往往需要同时用两个或两个以上的 随机变量来描述试验的结果, 例如某地区对儿童进行抽查 身体, 测量被抽儿童的身高H和体重W, 这里样本空间S= e =某地区的全部儿童, 而H(e)和W(e)是定义在S上的两 个随机变量.,1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由 它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.,注: 二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X, Y)
2、的统计规律? 首先可用分布函数.,2. 二维r.v.(联合)分布函数:,图2,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函 数F(x)的性质类似.,若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一) 二维离散型r.v.,例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的 分布律.,Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1
3、/12 1/16 4 0 0 0 1/16,X,(二) 二维连续型r.v.,注: 关于二维r.v.的定义, 分布函 数及其性质, 二维离散型r.v.连续 型r.v.等概念不难推广到n(n2) 维r.v.的情况.,2. 边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,三、边缘概率密度:,注: 由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y的联
4、合分 布可唯一地确定X和Y的边缘分布, 反之, 若已知X,Y 的边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布.,3. 条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1. 设(X, Y)的分布律为: Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在X=1时Y的条件分布律.,X,用表格形式表示为: k 0 1 2 PY=k|X=1 2/3 2/9 1/9,例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标 进行的射击次
5、数,以Y表示总共进行的射击次数,试求 X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,进一步可以化为:,进一步可以化为:,例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到 X=x(0x1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值, 求Y的概率密度.,4. 相互独立的随机变量,由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念.,若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A, B相互独立.,2.等价定义:,例: 设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立, 试求PX+Y1.,3.命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X,
6、Y相互独 立的充要条件是 =0.,所以: =0.,4. 一个重要定理:,设(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, Yn)相互独立, 则Xi (i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立,又若h, g是连续函 数, 则h(x)和g(y)相互独立.,5. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v. 的情况.,5. 两个r.v.的函数的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布 密度.,结论: 若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数 的卷积.,例1.
7、设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1), 求:Z=X+Y的概率密度.,结论:,(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布.,推广: 设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x), F2(x),Fn(x),则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z) F2(z)Fn(z) N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地, 当X1,X2,Xni.i.d.时, 设分布函数为F(x),(
8、四) 利用“分布函数法”导出两r.v.的和,商等的分布 函数或密度函数的公式, 其要点为:,(三) 对于离散型r.v. 的函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立, 其分布律分别为: PX=i=pi,i=0,1,2,3, PY=j=qj,j=0,1,2,3, 求Z=X+Y的分布律.,解:,PZ=i,=PX+Y=i,(X与Y相互独立),于是有:,这就是Z=X+Y的分布律.,例 设X,Y是相互独立的r.v., 分别服从参数为1,2的 泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为1+2泊松分布.,证明:,已知,由上式知,从而证明Z=X+Y也服泊松分布.,第三章 习题课,一. 主要内容：,(1) 二维
9、r.v.的分布函数, 离散型r.v.的联合 分布, 连续型r.v.的联合概率密度.,(2) 边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3) 条件分布律; 条件概率密度.,(4) 随机变量的相互独立.,(5) 两个r.v.函数的分布.,1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数,记X 为第一次所取出的数, Y为第二次所取出的数, 若第一次取后不放回, 求X和Y的联合分布律.,二. 练习题:,1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数, 记X为第一次所取出的数, Y为第二次所取出 的数, 若第一次取后不放回, 求X和Y的联合分 布律.,=PX=iPY=j|X=i,6. 设
10、离散型随机变量X与Y的分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3 且X与Y相互独立, 求:(1) Z=X+Y的分布列;(2) (X,Y)的联合 分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).,6. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3 且X与Y相互独立, 求:(1) Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).,解: Z 0 1 2 3 pk,1/12,PZ=0=PX=0,Y=0=P
11、X=0PY=0=1/6.,1/6,PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24.,11/24,PZ=2=PX=1,Y=1+PX=2,Y=0=7/24.,7/24,PZ=3=PX=2,Y=1=1/12.,(2) Y 0 1 0 1/6 1/3 1 1/8 1/4 2 1/24 1/12,x,(3) M 0 1 2 pk,PM=0=PX=0,Y=0=1/6;,1/6,PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0, Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24;,17/24,PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;,1/8,(4) N 0 1 pk,PN=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1, Y=0+PX=2,Y=0=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;,2/3,PN=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=1/3,1/3,复习题（三）,第4题,
