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1、概率论与数理统计,茆诗松、程依明、濮晓龙 研制,1.1 随机事件及其运算 1.2 概率的定义及其确定方法 1.3 概率的性质 1.4 条件概率 1.5 独立性,第一章 随机事件与概率,2. 随机现象,1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象,1. 确定性现象,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机现象,随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. 随机现象的
2、统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.,1. 随机试验 (E) 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性.,2. 样本点 随机试验的每一个可能结果.,3. 样本空间() 随机试验的所有样本点构成的集合.,4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.,1.1.2 样本空间,1. 随机事件 某些样本点组成的集合, 的子集，常用A、B、C表示.,3. 必然事件 (),4. 不可能事件 () 空集.,5. 随机变量 表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z 表示
3、.,2. 基本事件 的单点集.,1.1.3 随机事件,表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z 表示.,1.1.4 随机变量,在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.,事件的表示,包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B A B 而且 B A. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.,1.1.5 事件间的关系,解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.,2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.,例1.1.1,口
4、袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？,并： A B A 与 B 至少有一发生 交： A B = AB A 与 B 同时发生 差： A B A发生但 B不发生 对立： A 不发生,1.1.6 事件的运算,事件运算的图示,A B,A B,A B,德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间, 必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B
5、的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1，A2，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 An= 则称 A1，A2，An 为的一组分割.,样本空间的分割,1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( )， AB = ( ),2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ) AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件； AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件.,课堂练习,B,A,3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ）
6、甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A =|xa|，B =x a A =x20， B =x22 A =x22， B =x19,AB,相容,不相容,5. 试用A、B、C 表示下列事件： A 出现； 仅 A 出现； 恰有一个出现； 至少有一个出现； 至多有一个出现； 都不出现； 不都出现； 至少有两个出现；,设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域,1.1.7 事件域,1. F ;,2. 若 AF ，则 F ;,
7、3. 若 AnF ，n=1, 2, , 则 F .,直观定义 事件A 出现的可能性大小. 统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义；几何定义.,1.2 概率的定义及其确定方法,非负性公理： P(A)0; 正则性公理： P()=1; 可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则,1.2.1 概率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列：,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合：,重复组合：,求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原
8、则.,注 意,加法原理,完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,随机试验可大量重复进行.,1.2.3 确定概率的频率方法,进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,古典方法 设 为样
9、本空间，若 只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数,1.2.4 确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反反) 此样本空间中的样本点等可能. 2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三反) 此样本空间中的样本点不等可能.,注 意,例1.2.1,六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.,解：用乘法原则直接计算,所求概率为,n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先
10、坐好，则乙有n-1个位置可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(A) = 2/(n-1)。,例1.2.2,n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较),解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例1.2.3,1.2.5 确定概率的几何方法,若 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S； 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关
11、(等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA /S,几何方法的例子,例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.,蒲丰投针问题(续1),解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一个矩形，其面积为： S = d( /2).,蒲丰投针问题(续2),A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x l sin ( /2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概
12、率为: 2l/d. 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N. 用频率代替概率得： 2lN/(dn). 历史上有一些实验数据., 的随机模拟,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况： 1) 一个顶点在平行线上; 2) 一条边与平行线重合; 3) 两条边与平行线相交. 前两种情况出现的概率为零. 所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.,解：记Pab,Pac,Pbc ,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc, a,b,c与平行线相交
13、的概率，则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc. 由蒲丰投针问题知 Pa=2a/(d), Pb=2b/(d), Pc=2c/(d). 因为 Pa= Pab+Pac, Pb= Pab+Pbc, Pc= Pac+Pbc 所以 Pa + Pb + Pc = 2(Pab+Pac+Pbc), 由此得 p =Pab+Pac+Pbc=(Pa + Pb + Pc)/2 =(a+b+c)/(d).,性质1.3.1 P()=0. 注意: 逆不一定成立.,1.3 概率的性质,性质1.3.2 (有限可加性) 若AB=，则 P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件.
14、 性质1.3.3 (对立事件公式) P( )=1P(A).,1.3.1 概率的可加性,性质1.3.4 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)； 若AB，则 P(A) P(B). 性质1.3.5 P(AB) = P(A)P(AB).,1.3.2 概率的单调性,(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC),1.3.3 概率的加法公式,AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。,解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B),
15、例1.3.1,得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，,所以 P( ) = 10.2 = 0.8.,例1.3.2,解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).,例1.3.3,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC) = 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,思 考 题,口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.,例
