《概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第1讲课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第1讲课件（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第四章 随机变量的数字特征,第1讲,概率论与数理统计,2,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数.,例如, 在评定某一地区的粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量;,再如检查一批棉花的质量时, 即需要注意纤维的平均长度, 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.因此,与随机变量的有关数值, 能够描述随机变量的重要特征.,3,1 数学期望,4,定义 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,.若级数,绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量
2、X的数学期望, 记为E(X). 即,5,设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分,绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即,数学期望简称期望, 又称为均值.,6,例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为,试评定他们成绩的好坏. 解 计算X1,X2的数学期望为 E(X1)=00+10.2+20.8=1.8(分) E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5(分) 很明显乙的成绩远不如甲的成绩.,7,例2 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度为,若将这2个电子装置串联联接组
3、成整机, 求整机寿命(以小时计)N的数学期望.,8,解 Xk(k=1,2)的分布函数为,由第三章5(5.8)式N=min(X1,X2)的分布函数为,9,因而N的概率密度为,于是N的数学期望为,10,例3 按规定, 某车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立, 其规律为,一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.,11,解 设旅客的候车时间为X(以分计), X的分布律为,在上表中, 例如,其中A为事件第一班车在8:10到站, B为第二班车在9:30到站.,12,候车时间的数学期望为,13,例4 某商店对某种家用电器
4、的销售采用先使用后付款的方式, 记使用寿命为X(以年计), 规定:X1, 一台付款1500元;13, 一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为,试求该商店一台收费Y的数学期望.,14,解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率,15,一台收费Y的分布律为,得 E(Y)=2732.15 即平均一台收费2732.15元.,16,例5 在一群体中普查某种疾病, 为此要抽检N个人的血, 可以用两种方法进行. (1)将每个人的血分别去验, 这就需要验N次.,(2)按k个人一组进行分组, 把从k个人抽来的血混合在一起进行检验, 如果这混合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反应, 这样k个
5、人的血就只需要验一次. 若呈阳性, 则再对这k个人的血液分别进行化验. 这样, k个人的血总共要化验k+1次. 假设每个人化验呈阳性的概率为p, 且这些人的试验的反应是相互独立的. 试说明当p较小时, 取适当的k按第二种方法可减少化验的次数, 并说明k取什么值时最适宜.,17,解 各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p. 因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk及呈阳性反应的概率为1-qk.设以k个人为一组时, 组内每人平均化验次数为X, 则X是一随机变量, 其分布律为,18,X的数学期望为,N个人平均需化验的次数为,由此可知, 只要选择k使,则N个人平均需化验的次数N.,19,当p固定时, 选
6、取k使得,小于1且取到最小值, 这时就能得到最好的分组方法. 例如, p=0.1, 则q=0.9, 当k=4时,20,21,例7 设XU(a,b), 求E(X).解 X的概率密度为,X的数学期望为,即数学期望位于区间(a,b)的中点.,22,定理 设Y是随机变量X的函数, Y=g(X)(g是连续函数).(1) X是离散型, 分布律为PX=xk=pk, k=1,2,.,(2) X是连续型, 概率密度为f(x). 若,23,此定理还可推广到两个以上随机变量的函数.例如, 设Z=g(X,Y)(g是连续函数), 若(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则有,这里设上面的积分绝对收敛. 又若(X,Y)为
7、离散型随机变量, PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,., 则有,这里设上式的级数绝对收敛.,24,例8 设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 即具有概率密度,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数, W=kV2(k0, 常数), 求W的数学期望. 解 由(1.4)式有,25,例9 设随机变量(X,Y)的概率密度,26,解 由(1.5)式得,27,例10 某公司计划开发一种新产品, 并要确定产品的产量. 评估出售一件产品可获利m元, 而积压一件产品导致n元损失. 预测销售量Y(件)服从指数分布, 其概率密度为,问若要获得利润的数学期望最大, 应生产多少件产品(m,n,q均为已知)?,
8、28,解 设生产x件, 则获利Q是x的函数:,Q是随机变量, 是Y的函数, 其数学期望为,29,30,31,数学期望的几个重要性质: (假设所提随机变量的数学期望存在).(1) 设C是常数, 则E(C)=C.(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有E(CX)=CE(X).,(3) 设X,Y是两个随机变量, 则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).此性质可推广到任意有限个随机变量之和.(4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有E(XY)=E(X)E(Y).可推广到多个相互独立的随机变量.所有性质都可用式子(1.3)(1.6)证.,32,例11 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有
9、10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).解 引入随机变量,易知 X=X1+X2+.+X10. 现在来求E(X).,33,按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.,34,由此,进而,35,例12 设一电路中电流I(A)与电阻R(W)是两个相互独立的随机变量, 其概率密度为,试求电压V=IR的均值. 解,36,2 方 差,学生成绩举例,37,由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的. 用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E|X-E(X)|能度量随机变
10、量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值, 运算不方便, 为运算方便起见, 通常是用量EX-E(X)2来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的.,38,定义 设X是一个随机变量, 若EX-E(X)2存在, 则称EX-E(X)2为X的方差, 记为D(X)或Var(X), 即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2.(2.1)在应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量,称为标准差或均方差.,39,按定义, 随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度. 若X取值比较集中, 则D(X)较小, 反之, 若取值比较分散, 则D(X)较大. 因此, D(X)是刻画X取值分散程度的一
11、个量, 它是衡量X取值分散程度的一个尺度.,40,由定义知, 方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=(X-E(X)2的数学期望. 于是对于离散型随机变量, 按(1.3)式有,其中PX=xk=pk, k=1,2,.是X的分布律. 对于连续型随机变量, 按(1.4)式有,其中f(x)是X的概率密度.,41,随机变量X的方差可按下列公式计算:D(X)=E(X2)-E(X)2.(2.4),证 由数学期望的性质(1),(2),(3)得D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2.,42,在按公式D(X)=E(X2)-E(X)2计算方差时, E(X)还是按通常的办法计算, 而关键是计算E(X2). 当X是离散型随机变量时:,其中PX=xk=pk, k=1,2,.是X的分布律. 对于连续型随机变量, 有,其中f(x)是X的概率密度.,
