《概率论与数理统计浙大四版第二章3讲课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计浙大四版第二章3讲课件(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节,分布函数,为了对离散型的和连续型的 r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法,引进了分布函数的概念.,一、定义:,问: 在上 式中,X, x 皆为变量. 二者有什 么区别? x 起什么作用? F(x) 是不是概率?,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定义,对任意实数 x1x2,随机点落 在区间( x1 , x2 的概率为:,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此,只要知道了随机变量X的分布函数, 它的统计特性就可以得到全面的描述.,分布函数是一个普通的函数,正是通 过它,我们可以用数
2、学分析的工具来 研究 随机变量.,二、离散型 r.v的分布函数,设离散型r.vX 的概率函数是,P X=xk = pk , k =1,2,3,则 F(x) = P(X x) =,由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和, 故又称 F(x) 为累积概率函数.,离散型随机变量分布函数的计算举例,当 x0 时, X x = , 故 F(x) =0,当 0 x 1 时, F(x) = P(X x) = P(X=0) =,当 1 x 2 时, F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时, F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,故,
3、注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,概率函数图,分布函数图,画 分布函 数图,不难看出,F(x) 的图形是阶梯状的图形,在 x=0,1,2 处有跳跃,其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,例2 X具有离散均匀分布,即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,,n,,x(1) x x(2)时,F(x)=P(X x)=1/n,x(2) x x(3)时,F(x)=P(X x)=2/n,显然,x x(1)时,F(x)=P(X x)=0,解:将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为:,求X的分布函数.,x(1) x(2) x(n),x(k) x x(k+1)时,F(x)
4、=P(X x)=k/n,x x(n)时,F(x)=P(X x)=1,于是得,这个结果在数理统计中有用.,例2 X具有离散均匀分布,即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,,n,,求X的分布函数.,三、分布函数的性质,(1) F(x) 非降,即若 x1x2,则F(x1) F(x2) ;,(2) F( ) = F(x) = 0,(3) F(x) 右连续,即,如果一个函数具有上述性质,则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说,性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,F( ) = F(x) = 1,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例3 设有函数
5、 F(x),解: 注意到函数 F(x)在 上下降, 不满足性质(1),故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2), 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.,或者,例4 在区间 0,a 上任意投掷一个质点,以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求 X 的分布函数.,解: 设 F(x) 为 X 的分布函数,,当 x 0 时,F(x) = P(X x) = 0,当 x a 时,F(x) =1,当 0 x a 时, P(0 X x) = kx (k为常数 ),F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x),=x / a,例4 在区间 0,a 上任意投掷一个质点,以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求 X 的分布函数.,解: 设 F(x) 为 X 的分布函数,,例4 在区间 0,a 上任意投掷一个质点,以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求 X 的分布函数.,这就是在区间 0,a上服从均匀分布的随机变量的分布函数.,下一讲,我们将向大家介绍连续型r.v的分布函数及连续型r.v的概率密度与分布函数的关系,