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1、2018 年福建省高一数学竞赛试题 一、选择题：本大题共6 个小题 , 每小题 6 分, 共 36 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 |1327 x Ax， 2 2 |log ()1Bxxx，则 ABI（） A (12)， B13， C 02， D (1)(02)U， 2. 若直线 l与两直线 1l ：70 xy，2l ：1313110 xy分别交于A，B两点，且线段AB 中点为(12)P，则直线l的斜率为（） A2 B3 C2 D3 3. 如图，在正方体 1111 ABCDA BC D 中，M、E分别为棱BC、 1 BB 的中点，N为正方形 11
2、B BCC 的中心 .l为平面 1 A MN 与平面1AMN 与平面1 D BE 的交线，则直线l与正方体底面ABCD所 成角的大小为（） A30 B45 C60 D90 4. 如图，在三棱锥 SABC中，6SASBABBCCA ，且侧面 ASB 底面 ABC，则 三棱锥SABC外接球的表面积为（） A60 B56 C. 52 D48 5. 已知定义在R上的函数( )f x 满足： 2 2 210 ( ) 201 xx f x xx ， ， 且(2)( )f xf x ， 52 ( ) 2 x g x x ，则方程( )( )f xg x 在区间37，上的所有实根之和为（） A14 B12 C
3、.11 D7 6. 已知点( 20)A，(20)B，(02)C，直线 ykxb（0k）交线段CA于点D，交线 段CB于点 E. 若CDE 的面积为 2，则b的取值范围为（ ） A (211)， B 2 22 3 ， C. 3 22 4 ， D 2 21 3 ， 二、填空题（每题6 分，满分 36 分，将答案填在答题纸上） 7. 函数 2 3 3 1 ( )log ()log(3) 3 f xxx的最小值为 8. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，PAAB.E、 F分别为PD、BC的中点，则二面角EFDA的正切值为 9. 若函数 22 ( )24f xxaxa在
4、区间 2 2aa， （ 0a ）上的值域为40，则实数 a 的取值范围为 10. 已知集合13579A， ， ， ，集合 a BaAbAab b ，且，则集合 B中元素的 个数为 11. 使 1617 8 n n 为有理数的所有正整数n 的和为 12. 给出下列10个数：1，2，4，8，16，32，64， a ，b， c ，其中 a，b， c 为整数， 且64cba. 若对每个正整数753n，都可以表示成上述10个数中某些数的和（可以是 1个数的和，也可以是10个数的和，每个数至多出现1次） ，则b的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 78 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算
5、步骤 . ） 13. 已知 DEF 三边所在的直线分别为 1l ：2x，2l ： 340 xy，3l ：340 xy， Ce为DEF的内切圆 . （1）求Ce的方程； （2） 设Ce与 x 轴交于A、B两点，点P在Ce内，且满足 2 PCPAPB . 记直线PA、PB 的斜率分别为 1 k ， 2 k ，求 12 k k 的取值范围 . 14. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过 程.1692 年，德国数学家莱布尼茨首次使用 function 这个词， 1734 年瑞士数学家欧拉首 次使用符号( )f x 表示函数 .1859 年我国清代数学家李善兰将fu
6、nction译作函数，“函”意 味着信件，巧妙地揭示了对应关系. 密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数. 对自变量 恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一. 请你解答下列问题. 已知函数( )f x 满足： 对任意的整数a ，b均有()( )( )2f abf af bab， 且( 2)3f. 求(96)f的值 . 15. 如图，PA、PBC分别为Oe的切线和割线，切点A是BD的中点，AC、BD相交于点 E，AB、PE相交于点F，直线CF交Oe于另一点G、交PA于点K. 证明： （1）K是PA的中点； （2） 2 AGBG PG . 16. 已知 a ，b，c R，
7、且 222 33460abc. （1）求a bc的最大值； （2）若 a ，(04)b，(06)c，求 3 446 abc abc 的最小值 . 17. 设集合|2018Mm mZm，且 ，M的子集S满足： 对S中任意3个元素 a ，b ， c （不必不同） ，都有0abc. 求集合S的元素个数的最大值. 2018 年福建省高一数学竞赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:ABDAC 6:B 二、填空题 7. 25 8 8. 5 2 9.12， 10.18 11.205 12.125 三、解答题 13. 解： （1）解法一：设()C ab，Ce半径为 r ，则 3434 2 22 ab
8、ab a r ， 结合点()C ab，在DEF内，可得 (34)(34) 2 22 abab ar . 解得0ab，2r. Ce的方程为 22 4xy. 解法二：设()C ab，Ce半径为 r . 如图，由条件知， 2 l 、 3 l 的倾斜角分别为150和30，且它们关于x 轴对称，同时 1 lx 轴. 因此，DEF为正三角形 . 点C在 x 轴上，且2ar，0b. 由 2 l 、 3 l 交 x 轴于点(40)D，知DEF 的高为6. 1 62 3 r，0a. Ce的方程为 22 4xy. （2）由（ 1）知，(00)C，( 20)A，(20)B，. 设()P xy，则 22 4xy. 2
9、 PCPAPB ， 222222 (2)(2)xyxyxy， 化简得， 22 2xy. 12 22 yy k k xx 22 222 22 1 444 yx xxx . 由 22 4xy，以及 22 2xy， 2 0y，得 2 23x. 12 10k k，. 12 k k 的取值范围为10，. 14. 解：在()( )( )2f abf af bab中，令0ab，得 (0)(0)(0)02fff，于是(0)2f. 在()( )( )2f abf af bab中，令2a，2b，得 (0)(2)( 2)42fff. 2(2)342f，(2)3f. 在()( )( )2f abf af bab中，令
10、2an，2b，得 ( )(2)(2)2(2)2f nf nfn(2)32(2)2f nn(2)21f nn. ( )(2)21f nf nn. (96)(94)2961ff， (94)(92)2941ff， (4)(2)241ff. 上述等式左右两边分别相加，得 (96)(2)2(96944)47ffL. (964) (96)2474734750 2 f. 15. （1）在APC中，由塞瓦定理，知1 AKPBCE KPBCEA . A是BD的中点，PA是Oe的切线， PABADBABD. EBAP， PBAE BCEC . 由、，得AKKP.K是PA的中点 . 另解：A是BD的中点，PA是Oe
11、的切线， PABADBABD，EBAP. 如图，过点F作MNAP，交AE于点M，交PB于点N. 则 MFEM APEA ， FNBN APBP . 且EB APMN ， EMBN EABP . 由、，得 MFEMBNFN APEABPAP . AK KP，K是PA的中点 . （2）由（ 1）及切线长定理，得 22 KPKAKG KC . 因此， KPKG KCKP . 又PKGCKP， PKGCKP . APGKPGKCPGCBBAG. 又PAGABG， GPAGAB ， AGPG BGAG . 2 AGBG PG . 16. 解： （1）由柯西不等式，知 22111 ()(332 ) 2 3
12、3 abcabc 2 222222111 ()()()(3 )(3 )(2 ) 233 abc 222111 ()(334) 334 abc 21 () 60401555 34 . 55abc. 当且仅当 332 0 111 2 33 abc ，即 4 5 11 ab， 3 5 11 c时，等号成立. abc的最大值为55 . （2）由 a ，(04)b，(06)c，知 a ，4a，b，4b， c ，6c均为正数， 24 (4)()4 2 aa aa， 24 (4)()4 2 bb bb， 26 (6)()9 2 cc cc. 3 446 abc abc 222 3 (4)(4)(6) abc
13、 aabbcc 222 3 449 abc i 222 33460 5 1212 abc . 当2ab，3c时，满足 a ，(04)b，(06)c， 222 33460abc，且 3 5 446 abc abc . 3 446 abc abc 的最小值为5. 17. 解：集合S的元素个数的最大值为2018. 令|12018SsssZ，显然集合S符合要求，且2018S. 另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然0S（否则0000）. 设S中的所有正整 数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B. 若A，则2018SB；若B，则2018SA. 下面考虑A、B非空的情形 . 对于集合X，Y，记|XYx
14、y xXyY，|Xx xX. 由题设可知， ()()ABSI （否则，设 0 ()()xABSI， 则存在aA，bB，cS， 使得 0 ab x ， 0 cx . 于是，存在aS，bS，cS，使得0abc）. 且 |2017ABx xZx，且（事实上，A中元素2018，B中元素1，于是AB中 元素2017；同理，AB中元素1027. ）. 设集合A中元素为 1 a ， 2 a ，L ， k a ，集合B中元素为1 b ， 2 b ，L ， l b ，且 12k aaaL， 12l bbbL. 1122 abab 33 abL 2klk abab 3kkl ababL. AB中至少有1kl个元素，即11ABklS. 结合|2017ABx xZxM，且 ，SM ，且 ()()ABSI，可得 ()()ABSMU， 4037MABS1ABSS S . 2019S. 若2019S，则4037ABSM . ()()ABSMU. 又由2018AB，2018AB，知2018S，2018S. 对于1k，2，3， L ，1009，k与2018k中至少有一个不属于S，k与2018k中 也至少有一个不属于S. 因此，1009A，1009B. 2019100910092018SAB，矛盾 . 因此，2018S. 综上可得，2018S. 综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.
