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1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望 方差 几种重要分布的数学期望与方差 协方差和相关系数 矩、协方差矩阵 大数定律 中心极限定理,定义4.1 设X是离散型随机变量，其概率分布为 XP(X=xi)=pi i=1,2,n,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量X的数学期望（均值）,则称X的数学期望存在，,记作 E(X)，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,不绝对收敛，,4.1数学期望,例如，设离散型随机变量X的分布律为,则X的数学期望为,例4.2 掷一颗均匀
2、的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解 X的分布律为,例4.3 从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望。,解 设取出的红球数为X ，则X的分布律为,k=0,1,2,其中,二项分布XB(n,p),分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,例4.4 设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望存在的条件：“绝对收敛”。,定义4.2 设X是连续型随机变量，概率
3、密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称X的数学期望存在，,且称积分,为随机变量X的数学期望，记为E(X),即,数学期望简称期望或均值。,例4.6 设随机变量X服从,(-x+),试讨论E(X)。此分布称为Cauchy分布。,解,此广义积分发散，因此数学期望E(X)不存在。 注意这里,三、随机变量函数的数学期望,定理1 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(其中 g()为连续函数),(1)设X为离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,若级数,绝对收敛，则Y的数学期望存在，且,(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，,若积分,绝
4、对收敛，则Y的数学期望存在，且,此定理说明:在求随机变量函数Y=g(X)的期望时，不必知道 Y的分布而只需知道X的分布即可。,推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，其中g(,)是连续函数。,(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则当,绝对收敛时，Z的数学期望存在，且,(2)设(X,Y)是连续型随机向量，概率密度为f(x,y)，则当,绝对收敛时，Z的数学期望存在，且,例4.7 设随机变量XB(n,p)，,求E(Y),解 XB(n,p)，分布律为,其中p+q=1,例4.9 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,设Z=XY，试求
5、Z的数学期望。,解,O 1 x,y,1,y=x,例4.10 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？,解 由题意可知X的密度函数为,设每年出口该商品y吨，(2000y4000)，则收益,可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。,1、设C是常数，则E(C)=C; 证 将C看成是离散型随机变量，分布律P(X=C)=1，则 E(C)=C 2、设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE
6、(X); 证 设X的密度函数为f(x)，则,四.数学期望的性质,3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证 设(X,Y)f(x,y)，边缘密度函数为fX(x)，fY(y),推广： Xi为随机变量，Ci为常数，i=1,2,n E(C1X1+ C2X2+ CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ CnE(Xn),4、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。 （反之不成立）,证 设(X,Y)f(x,y)，由于X,Y相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y),推广： X1,X2,Xn相互独立，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E
7、(Xn),例4.12 一民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以X表示停车次数，求平均停车次数E(X)。,解 X的可能取值为1,2,10，又设,则 X=X1+X2+X10,按题意，对一位旅客而言，他在第i站下车的概率是1/10，在第i站不下车的概率是9/10。由于在各站旅客下车与否相互独立，故第i站无人下车的概率为(9/10)20，从而第i站有人下车的概率为1- (9/10)20， Xi的分布律为：,E(Xi)=11- (9/10)20+0 (9/10)20 =1-
8、 (9/10)20,E(X)=E(X1+X2+X10)= E(X1)+ E(X2)+E(X10) =101- (9/10)20=8.784,练习:对某一目标连续射击，至命中n次为止。设每次射击的命中率为p，且相互独立，求消耗的子弹数X的数学期望。,解 设Xi为第i-1次命中后至第i次命中时所消耗的子弹 数，则,且Xi的分布律为,Homework Page 97,3; 6; 7; 10; 11; 12,4.2 方差,定义 设X是随机变量，若E X-E(X)2存在，则称 E X-E(X)2为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=E X-E(X)2,称为随机变量X的均方差或标准差
9、。,方差是衡量随机变量取值离散（与平均值偏离）程度的一个数字特征。,由方差的定义可知，D(X)0。 当X为离散型随机变量时，且分布律为P(X=xk)=pk，则,当X为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则,在实际计算中，通常使用如下公式,即 方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。,例4.15 已知随机变量X的分布律如下，求D(X)。,解 数学期望E(X)=7/8，,例4.16 设随机变量,求D(X),解,二、方差的性质,1、设C是常数，则D(C)=0，且D(X+C)=D(X); 2、设C是常数，X为随机变量，则D(CX)=C2D(X); 证,3、设X,Y为任意两个随机变量，则
10、有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y);,证明 由方差定义可得 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),特别地，当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 由于EX-E(X)Y-E(Y)=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)=0， 所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)(当X,Y相互独立时）
11、 推论：若随机变量X1, X2,Xn相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) 又X,Y相互独立， C1，C2为常数，则 D(C1X+C2Y)= C12 D(X)+C22D(Y) 特别注意： D(X-Y)=D(X)+D(Y) (当X,Y相互独立时） 所以D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y) (当X,Y相互独立时）,4、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1为常数，即 P(X=C)=1 5、切比雪夫(Chebyshev,俄罗斯)不等式 设随机变量X，E(X)=， D(X)=2， 则对任意的0，必有,或,或等价于,切比雪夫不等式,给出了在随机变量X的分布未知时，
12、对事件(|X-E(X)|)给出了 一个上限估计，例如： 当分别取时2，3，4时，有 P(|X-E(X)|2)1/4 P(|X-E(X)|3)1/9 P(|X-E(X)|4)1/16,三、几个重要分布的数学期望和方差,01分布 XB(1,p)， P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q E(X)=1p+0(1-p)=p， E(X2)=12p+02(1-p)=p D(X)= E(X2)-E(X)2=p-p2=pq=p(1-p),二项分布XB(n,p) E(X)=np D(X)=npq,分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,其中,随机变量函数的数学期望,在计
13、算时，若将X表示成若干个相互独立的01分布变量之和，计算就极为简便。,在n重Bernoulli试验中，A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。设,则A发生的次数,XB(n,p),Poisson分布,XP(),几何分布,均匀分布,XUa, b,正态分布,N(,2)中两个参数和2 ， 分别是正态分布随机变量的数学期望和方差。,指数分布,指数分布,练习 1、设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,2、 设随机变量X1, X2,Xn相互独立，且均服从 N(,2)分布，求随机变量,的期望和方差,练习.已知随机
14、变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn ，求E（Y2）。 解：,Homework Page 104,5; 7; 9;,4.3 协方差与相关系数,定义 设(X,Y)是二维随机变量，如果 EXE(X)YE(Y) 存在, 则称它是X与Y的协方差，记为Cov(X,Y) 即 Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y)。 并称,一、概念,为X与Y的相关系数，或称X与Y的标准协方差。 XY是一个无量纲的量。,当X与Y是离散型随机变量时，联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,当X与Y是连续型随机变量时，联合密度函数f(x,y),由协方差定义可得，对任意
15、的随机变量X、Y，有 Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y)= E(XY)E(X)E(Y) 协方差的一个计算公式。 又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y),例4.16 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY 。,解 由题意可得X,Y的边缘分布律为,均为0-1分布， E(X)= p ，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq， 所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y) =00q+010+100+11ppp =pp2=pq 因此,例4.17 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
16、,求Cov(X,Y) 解,同理,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,二、协方差的性质,(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2) Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0； (3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b为常数； (4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)； (5),称,为X的标准化变量， 即“随机变量与期望之差除以均方差”,若记,则E(X*)=0， D(X*)=1,三、相关系数的性质,1、|XY|1，即“相关系数的绝对值小于等于1”。 证明,方差的非负性,|XY|1,2、|XY|=1的充分必要条件是X与Y以概率1存在线性关系， 即P(Y=aX+b)=1，a0，a,b为常数。,证明（充分性） 设Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X) Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y) = EXE(X)
