概率论与数理统计 第一章ppt课件

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1、概率统计,概率论与数理统计,第一章_1,第一节 随机试验,第二节 样本空间、随机事件,第三节 频率与概率,第四节 等可能概型（古典概型）,第五节 条件概率,第一章 概率论的基本概念,第六节 独立性,第一章_2,第一章 概率论的基本概念,确定性现象：,统计规律性,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象.,在个别试验中其结果呈现出 不确定性 ,在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象.,Section1_1,随机试验：,第一节 随机试验,随机试验，简称 试验 ., 试验可在相同的条件下重复进行；,满足以下三个特点的试验称为, 每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能,结果是明确可知的；,

2、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,Section2_1,第二节 样本空间、随机事件,随机试验 E 的所有可能结果所组成的 集合 称为,试验 E 的 样本空间 . 记为 S 或 .,样本空间的元素，即 E 的每一个结果称为 样本点 .,一、样本空间,例1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况., = H , T ,例2. 将一枚硬币抛掷三次, 观察正反面出现的情况., = HHH , HHT , HTH , HTT ,THH , THT , TTH , TTT ,Section2_1_1,例3. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数., = 0 , 1 , 2 , 3 ,例4. 抛

3、一颗骰子，观察出现的点数., = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,例5. 观察某天通过某路口的汽车的数目., = 0 , 1 , 2 , 3 , ,例6. 在区间0 , 1上任取一数，观察所取到的数., = x | 0 x 1 ,Section2_2,试验 E 的样本空间 的子集，或试验 E 的满足某,些条件的可能结果的集合，称为 E 的 随机事件 ，简称,事件 .,二、随机事件,在每次试验中，当且仅当 事件中的 一个样本点,出现 时，称这个 事件发生 .,基本事件：,由一个样本点组成的单点集.,必然事件：,样本空间 ，,即每次试验一定发生的事件.,不可能事件：,空集 ，,即每次

4、试验一定不发生的事件.,Section2_2_1,随机事件与集合,样本空间 = ：全集,样本点 ： 中的元素,随机事件 A ：由具有某些,特性的样本点 所组成的样本,空间 的一个子集，即 A ., A ,Section2_2_2,例7. 将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之,和超过 2 为止. 写出样本空间与事件,A = 恰好抛掷骰子一次 .,解：, = 3 , 4 , 5 , 6 ,12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 ,A = 3 , 4 , 5 , 6

5、 ,Section2_3,1. 包含,含义：事件 A 发生必然导致事件 B 发生.,三、事件间的关系与事件的运算,若 A B ，则称 事件 B 包含事件 A .,若 A B 且 B A ，则称事件 A 与事件 B 相等 ，,记作 A = B .,Section2_3_1,事件 AB 发生.,事件 B 的 和事件 或 并事件 .,2. 和（并）,含义：当且仅当事件 A、B 中至少有一个发生时，,事件 AB = | A 或 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的和事件；,称 为可列个事件 的和事件.,Section2_3_2,事件 AB 发生.,事件 B 的 积事件 或 交事件 .,3. 积

6、（交）,含义：当且仅当事件 A 与事件 B 同时发生时，,事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与,称 为 n 个事件 的积事件；,称 为可列个事件 的积事件.,Section2_3_3,事件 AB 发生.,4. 差,含义：当且仅当事件 A 发生、事件 B 不发生时，,事件 B 的 差事件.,事件 AB = | A 且 B 称为事件 A 与,Section2_3_4,5. 互不相容（互斥）,含义：事件 A 与事件 B 不能同时发生.,互不相容 的，或 互斥 的.,若 AB = ，则称事件 A 与 事件 B 是,可列个（有限个）事件 两两互不相容 .,Section2_3_5,6. 对立

7、（互逆）,含义：在每次试验中，事件 A 与事件 B 必有 一个,互为 对立事件 或 互为 逆事件 .,若 AB = 且 AB = ，则称事件 A 与事件 B,发生，且 仅有 一个发生.,事件 A 的对立事件记作： .,注意：,AB,Section2_3_6,例1. 将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数.,令 A = 两次掷出的点数相同 ， B = 点数之和为 10 ,C = 最小点数为 4 ., 写出该试验的样本空间., 用样本点表示事件 A , B , C 以及 AB , ABC ,AC , CA , A( BC ) .,解：, = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 ,2

8、1 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 ,41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 ,51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 ,61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 ,Section2_3_6_1,A = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 ,B = 46 , 55 , 64 ,C = 44 , 45 , 46 , 54 , 64 ,AB = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ,ABC = ,AC = 11 , 2

9、2 , 33 , 55 , 66 ,CA = 45 , 46 , 54 , 64 ,A( BC ) = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ,Section2_4,2. 交换律：AB = BA ， AB = BA .,四、事件运算的性质,3. 结合律：A( BC ) = ( AB )C ，,A( BC ) = ( AB )C .,4. 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ) ，,A( BC ) = ( AB )( AC ) .,1. 吸收律： 若 A B ，则 AB = A ，AB = B .,（交 取小，并 取大）,Section2_4_

10、1,6. 双重否定律： ., 差积转换公式： ., 直和分解公式：将一事件分解为若干个互不相,5. 德摩根律： .,其它的重要性质：,容事件之和.,Section2_4_2,例2. 设 A , B , C 为三个事件，试用 A , B , C 表示,下列事件：, A , B 中 A 发生；只有 A 发生., A , B , C 中至少有一个发生；恰好有一个发生., A , B , C 中至少有两个发生；恰好有两个发生 ., A , B , C 中最多有一个发生., A , B , C 都发生；都不发生；不都发生 ., A , B 中至少有一个发生，但 C 不发生.,解：, A ；, A + B

11、 + C ；,Section2_4_2_1, AB + BC + AC,Section2_4_3, 第 2 次出现正面., 只有第 2 次出现正面., 第 2 次才出现正面., 正面出现 2 次.,例3. 将一枚硬币抛掷三次，设 表示第 i 次出现,正面 ( i = 1 , 2 , 3 )，试用 表示下列事件：,解：,Section2_4_4,例4. 设 A , B 为两个任意事件，化简下列事件并,说明其含义：, ., .,解：,Section3_1,第三节 频率与概率,定义 在相同的条件下，进行 n 次试验，在这 n 次,一、频率,试验中，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的 频数.,

12、比值 称为事件 A 发生的 频率 ，记作 .,频率具有以下 性质 ：, ；, ；, 若 是两两互不相容的事件，则,Section3_2,定义 设试验 E 的样本空间为 ，对于 E 的任意,二、概率,一个事件 A 赋于一个实数 P (A) ，称为事件 A 的 概率 ,如果集合函数 P ( ) 满足以下 三条公理 ：, 非负性：对于任意事件 A ，有 P (A) 0 ；, 规范性：对于必然事件 ，有 P () = 1 ；, 可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：,，有,Section3_3,三、概率的基本性质, 对于不可能事件 ，有 P ( ) = 0 ；, 设 A , B 是两个事件，若 A

13、B ，则有,的事件，则有, 有限可加性：若 是两两互不相容, 对于任一事件 A ，有 .,注意：由 P(A) = 0 不能推出 A 是不可能事件.,Section3_3_1, 加法公式：对于任意两事件 A , B 有, 求逆公式：对于任一事件 A , 有, 减法公式：对于任意两事件 A , B 有,Section3_3_2, 直和公式：对于任意两事件 A , B 有,Section4_1,第四节 等可能概型（古典概型）,设随机试验 E 的样本空间为 ，如果 E 满足：, 有限性： 只包含有限个基本事件.,则称试验 E 为 等可能概型 或 古典概型 ., 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.

14、,对于古典概型，事件 A 的概率为：,Section4_2,例1. 将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率：, 恰好有一次出现正面., 恰好有二次出现正面., 至少有一次出现正面.,解：, = HHH , HHT , HTH , HTT ,THH , THT , TTH , TTT ,Section4_3,1. 加法原理,假设完成一件事情有 n 种不同的方式，而第 i 种,排列组合的基本知识,方式又有 种不同的方法 ，则完成,这件事情共有 种不同的方法.,2. 乘法原理,假设完成一件事情必须经过 n 个不同的步骤，而,第 i 个步骤又有 种不同的方法 ，则,完成这件事情共有 种不同的方法.,Se

15、ction4_3_1,3. 排列, 不允许重复的排列：从 N 个 不同 的元素中任, 允许重复的排列：从 N 个不同的元素中有放回,取 m (m N ) 个进行排列，排列数为,地任取 m 个进行排列，排列数为 .,4. 组合,不允许重复的组合：从 N 个 不同 的元素中任取,m (m N ) 个进行组合，组合数为,Section4_4,例1. （取球模型）,设一袋中装有 4 个红球，5 个白球. 现按下列三种,方式从袋中任取 3 个球，求取出的球中有 2 个红球，,1 个白球的概率., 一次取 3 个., 一次取 1 个，取后不放回., 一次取 1 个，取后放回.,解：,无序,有序,Secti

16、on4_4_1,注意：, 有序与无序 要统一 ., 不放回地一次取一个，取 n 次, 放回与不放回 结果不同 .,与一次取 n 个 结果相同 .,Section4_5,例2. （抽签问题）,设一袋中有 10 个球，其中白球 2 个，黑球 8 个.,从中随机地逐一取球，取后不放回，求第 8 次取到白,球的概率.,解：,注意：抽签的结果与抽签的顺序无关.,Section4_5_1,例如 某商店有 10 件商品，其中有 3 件一等品，,先后有 2 位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件.,求下列事件的概率：, 第 1 位顾客买到一等品., 第 2 位顾客买到一等品.,Section4_6,例3. （取数问