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1、柯西不等式（一）,茂名市第一中学 杨 平,2006年9月,说教材 说学情 说目标 说教法 说学法 说教学过程,柯西不等式（一）,柯西不等式是人教A版选修45不等式选讲中第三讲的内容，是学生继平均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。运用柯西不等式可以解决中学数学中一些比较典型的数学问题，例如：证明不等式、求最值等。 本节课是柯西不等式的第一课时，主要内容是柯西不等式的二维形式的推导和应用。,（一）、教材的地位和作用：,一、说教材,教学重点：,教学难点：,1、柯西不等式
2、的二维形式的推导和应用；,2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题， 体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典 不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。,柯西不等式的二维形式的应用,关键点：,理解柯西不等式的二维形式的结构特点,一、说教材,（二）、教学重点、难点,（三）、教材处理,一、说教材,向量的数量积的性质 正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。 根据“最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生类比不等式 猜想关于 的不等关系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不等式 ，通过对该不等式作进一步探究,发
3、现了柯西不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式的推导和应用。,二、说学情,该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明不等式的基本方法，以及向量的数量积的性质 。这个性质正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。,三、说目标,通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。,1、知识目标：,（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主
4、要贡献，贯穿数学史教育。,2、能力目标：,四、说教法,因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构，“教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链，使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑，学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的平台。,五、说学法,教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生
5、学会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究的学习方式。,六、说教学过程,创设情境,初步运用,实施探究,设置悬念,归纳小结,理解深化,1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。 2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”。,师：前面我们学习了哪几种证明不等式的 方法？,师：在运用这些方法解题时需要注意哪些 方面？,（要注意每种方法的特点、适用范围、
6、及 解题格式）,(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法),1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。 2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”。,师：前面我们学习了哪几种证明不等式的 方法？,师：在运用这些方法解题时需要注意哪些 方面？,（要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式）,(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法),问题1：当满足什么条件时，不等式 取等号？,问题2：取消已知中的“非零”，不等式 还成立吗？,问题 3：,用数学家成才的故事， 鼓励学生要有敢于克 服困难的
7、决心和勇气， 提高学生学习数学 的能动性。,柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在 数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微 分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的 极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名 言是“人总是要死的，但是，他们的业绩永存
8、”,因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。,问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？ (要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价),1、掌握柯西不等式的 二维形式的结构特点是 突破本节难点的关键。 2、可以培养学生的观 察、分析，归纳能力， 同时，让学生成为发 现者，可以增加学生 的成就感，提高学生 学习的积极性。有助 于学生学习情绪的进 一步高涨。,问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有 什
9、么特点？,（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，观察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和的乘积不小于乘积的和的平方”的特点）,1、通过比较各种证明 方法，凸显柯西不等 式在解题中的优越性。,(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价),1、让学生在解决问题 的过程中体会用柯西不等 式的二维形式解决问题的 方法。 2、培养数学能力是数学 教学的根本点，也是形成 良好认知结构的核心成分 这样设计既突出了教学重 点又化解了教学难点，还 使学生的思维得到了锻炼,(留给学生足够的思考时间，鼓励学生合作 交流。一段时间后，请做出来的同学谈谈
10、是怎 样找到解题思路的，再让未做出来的学生谈谈 思路障碍之处，其他同学进行补充，教师适时 点拨，最终体会到解题的方法。),1、让学生在反思中加深 了对用柯西不等式的二维 形式解题的方法的理解。 2、让学生在历练中暴露 了思维障碍之处，教师在 此适当加予点拨，就能取 得很好的教学效果。这是 本节课的升华之处。,问题6： 例1和例2都可以用柯西不等式 进行证明，但证明过程有何区别？ （引导学生思考、交流，然后个别提问， 再和其他学生分析、评价）,及时巩固所学知 识和方法体会,让学生在归纳小结的过 程中将所学的知识条理 化、系统化。而注重数学 方法的提炼，可帮助学 生逐渐把经验内化成能 力。,问题8
11、：通过本节课的学习，你学 到了什么？体验到什么？,1、知识总结：,2、思想方法总结：,认识事物的过程实质就是“观察发现、猜想 论证应用再发现再论证再应用”的过程,这是本节课的一个升华 之处。以问题的形式引 出柯西不等式的三维、n 维形式的推导，为下节课 作好了铺垫。既使学生掌 握基础知识，又使学有余 力的学生有所提高。,问题9：柯西不等式的三维、四维、 n维的形式是怎样的？如何推导？,问题10：还有没有其他方法来证明 柯西不等式的二维形式？,七、评价分析,在教学过程中我始终面对全体学生，尊重学生的个体差异。在教学中我选择了问题探究的教学方法，鼓励与提倡学生用多样化的策略解决问题。对于问题的设计
12、、教学过程的展开、练习的安排等都尽可能地让所有学生主动参与，提出各自解决问题的方法，并引导学生合作交流，吸取他人的经验，从而丰富了学生的数学活动，提高他们的思维水平。同时这节课也是我对个性化教育的初步尝试。,1、附板书设计,Bye!,探究的第一步是有效 的问题。有效的问题能 创设出一个充满张力的 情境，能激发学生学习 的极大兴趣。 向量的数量积的这个 性质正是柯西不等式的向 量形式，是这节课内容最 佳的“知识生长点”。根据 知识建构理论和“最近发展 区”的教学理论我设计了这 样的引入。 先让学生证明不等式 ，然后通过引导学生对 该不等式进行探究, 发现了柯 西不等式的二维形式，,1、让学生在反
13、思中加深 了对用柯西不等式的二维 形式解题的方法的理解。 2、学生在反思中暴露的 问题真实体现了学生的思 维障碍，教师在此稍加点 拨，就能取得很好的教学 效果。,1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能 激发学生的探究欲望。 2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”。,师：前面我们学习了哪几种证明不等式的 方法？,师：在运用这些方法解题时需要注意哪些 方面？,（要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式）,(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法),问题1：当满足什么条件时，不等式 取等号？,问题2：取消已知中的“非零”，不等式 还成立吗？,问题 3：,
