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1、,第一章 轴向拉伸和压缩,材料力学,11 轴向拉压的概念及实例 12 内力、截面法、轴力及轴力图 13 截面上的应力及强度条件,第一章 轴向拉伸和压缩,1-4 拉压杆的变形 弹性定律,1-5 拉压杆的弹性应变能,1-6 拉压超静定问题及其处理方法,1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能,11 轴向拉压的概念及实例,轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。,一、概念,轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。,轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。,轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,轴向压缩，对应的力称为压力。,轴向拉伸，对应的力称为拉力。,力学模型如图,一
2、、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,12 内力 截面法 轴力及轴力图,二、截面法 轴力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1. 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。,2. 轴力轴向拉压杆的内力，用N 表示。,例如： 截面法求N。,截开：,代替：,平衡
3、：,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。,三、 轴力图 N (x) 的图象表示。,3. 轴力的正负规定:,N 与外法线同向,为正轴力(拉力),N与外法线反向,为负轴力(压力),N,x,P,意义,例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3PN3= 5P N4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,
4、轴力图的特点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为：,q,q L,x,O,例2 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。,L,q(x),q(x),N,x,O,一、应力的概念,13 截面上的应力及强度条件,问题提出：,1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。,1. 定义：由外力引起的内力集度。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
5、不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,平均应力：,全应力（总应力）：,2. 应力的表示：,全应力分解为：,变形前,1. 变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。,受载后,二、拉（压）杆横截面上的应力,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。,2. 拉伸应力：,轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。,3. 危险截面及最大工作应力：,直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。,4. 公式的应用条件：,6. 应力集中（Stress Concen
6、tration）：,在截面尺寸突变处，应力急剧变大。,5. Saint-Venant原理：,离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图：,应力分布示意图：,7. 强度设计准则（Strength Design）：,其中：-许用应力， max-危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：,保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。,校核强度：,许可载荷：,例3 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
7、 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。,解： 轴力：N = P =25kN,应力：,强度校核：,结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。,例4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。,钢拉杆,4.2m,钢拉杆,8.5m,q,4.2m,RA,RB,HA,应力：,强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。, 局部平衡求 轴力：,q,RA,HA,RC,HC,N,例5 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD
8、杆的许用应力为。,分析：,x,L,h,q,P,A,B,C,D, BD杆面积A：,解： BD杆内力N(q )： 取AC为研究对象，如图,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C, 求VBD 的最小值：,三、拉(压)杆斜截面上的应力,设有一等直杆受拉力P作用。 求：斜截面k-k上的应力。,解：采用截面法 由平衡方程：Pa=P,则：,Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,斜截面上全应力：,斜截面上全应力：,Pa,分解：,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当 = 90时，,当 = 0,90时，,2、单元体：单元体构件
9、内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。,3、拉压杆内一点M 的应力单元体:,1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。,补充：,取分离体如图3， a 逆时针为正； t a 绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：,4、拉压杆斜截面上的应力,例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，
10、设胶合面的许用拉应力为=100MPa ；许用剪应力为=50MPa ，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定: 在060度之间)。,联立(1)、(2)得：,解：,B,(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60时，由(2)式得,解(1)、(2)曲线交点处：,讨论：若,B1,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,14 拉压杆的变形 弹性定律,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,
11、L1,二、拉压杆的弹性定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比（或横向变形系数）,三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图),1、
12、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例6 小变形放大图与位移的求法。,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：,例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,解：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象,2) 钢索的应力和伸长分别为：,D,D,3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：,15 拉压杆的弹性应变能,一、弹性应变能：杆件发生弹性
13、变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。,二、 拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。,内力为分 段常量时,三、 拉压杆的比能 u： 单位体积内的应变能。,解：方法2：能量法： （外力功等于变形能） （1）求钢索内力：以ABD为对象：,例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,（2) 钢索的应力为：,（3) C点位移为：,能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称
14、为能量法。,16 拉压超静定问题及其处理方法,1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。,一、超静定问题及其处理方法,2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。,例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,解：、平衡方程:,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程
15、弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,3、超静定问题的方法步骤：,例9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,P,P,y,4N1,N2,P,P,y,4N1,N2, 解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷： 方法1:,角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2,所以在1=2 的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢
