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1、第11章 材料力学中的能量法,工 程 力 学,求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程静力平衡关系 几何方程变形几何关系 物理方程应力应变关系,利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。 在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。,2、能量法,第11章 材料力学中的能量法,能量法有关的几个基本概念,3、功能原理：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E 在数值上与外力所作的功 W 相等。 EW,1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相
2、对应的位移上所作的功 W。,2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能 E。,第11章 材料力学中的能量法,杆件的弹性应变能,11-1 基本概念,1、轴向拉压,杆件的弹性应变能,式中 轴力， A 横截面面积,由拉压杆件组成的杆系的应变能：,杆件的弹性应变能,取微段研究：,微段的应变能：,整个杆件的拉压应变能,受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能,q,L,dx,x,杆件的弹性应变能,2、扭 转,杆件的弹性应变能,式中 Mx 圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：,积分得圆轴扭转的应变能,受力复
3、杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),可取微段分析：,杆件的弹性应变能,3、平面弯曲的应变能,纯弯曲梁的应变能：,纯弯曲,式中 M 梁横截面上的弯矩； I 梁横截面对中性轴的惯性矩,杆件的弹性应变能,横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能,整梁的弯曲应变能,按微段分析：,杆件的弹性应变能,4、纯剪切时微段梁的应变能：,FS,dx,FS,由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k, 因此 微段梁的应变能为：,杆件的弹性应变能,整个梁的剪切应变能：,式中,(b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩),(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。,(1) k 由截面的
4、几何形状决定: 矩形截面:k = 1.2, 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2,杆件的弹性应变能,例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k = 1.2。,细长梁,整个梁的弯曲应变能：,细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！,整个梁的剪切应变能：,得,解：,杆件的弹性应变能,例1 求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度.,解：,由U=W 得,5、利用功能原理计算变形,杆件的弹性应变能,例2 试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C 截面的挠度.,解：,由 U=W 得,杆件的弹性应变能,例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移
5、. 已知EI 为常量.,解：,由 U=W 得,杆件的弹性应变能,例4 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根 50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 。设各杆自重可以不计。,杆件的弹性应变能,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点A的竖直位移为 ，则由 得：,杆件的弹性应变能,功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，不能
6、用功能原理求解。,杆件的弹性应变能,多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，如何求解？,应变能的普遍表达式,第11章 材料力学中的能量法,应变能的普遍表达式,叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形， 外力功和应变能是否满足叠加原理呢？,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形,梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？,简单模型- 悬臂梁,简单模型-简支梁,应变能的普遍表达式,梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？,梁的转角和挠度是载荷的线性函数,外力功和应变能是否载荷的线性函数？,1、拉压,2、扭转,3、梁纯弯曲,4、
7、梁纯剪切,外力功和应变能与载荷的关系,外力功和应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在外力功和应变能计算中不能使用。,例5：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,. 及其相应广义位移, 求外力功,叠加原理不适用外力功和应变能计算,叠加原理不适用外力功和应变能计算,应变能的普遍表达式,F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)； 广义位移(线位移或角位移) 且 F =C (力与位移成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,几个概念,相应位移： 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。,外力功： 载荷在其相应位移
8、上所作之功。,广义力： 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。,广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。,应变能的普遍表达式,广义位移1为1点沿力矢方向的线位移（挠度）； 广义位移2为2点按力偶转向的角位移（转角）； 广义位移3为分布载荷F3作用区段挠曲线覆盖的面积。,广义力及其相应的广义位移,力：F，位移：,力：m，位移：,一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移,广义力及其相应的广义位移,应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),线弹性体的应变能等于每一外力与其相应的广义位移乘积的二分之一的总和。即：,证明：,
9、即外力增加的过程为：,材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：,式中 ：01 (从0线性增加到1),克拉贝隆原理,如果 增加d，则位移的相应增量为：,则外力,在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：,积分得,此式称为克拉贝隆原理。,克拉贝隆原理,1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；,2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一 个力引起的，而是所有力共同作用下的位移 ，即它是 i 点实际的总位移；所以Clapeyron原理不符合叠加原理。,特别注意点：,克拉贝隆原理, 注意：,线弹性体上作用有多个广义力时：, 外力功一般不可以用叠加法求解, 特殊
10、情况：, 一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功, 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移,克拉贝隆原理,一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移,对于杆件上各段的内力分量不等的情形，需要采用积分计算：,截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有,组合变形的应变能,解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左),多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算,例6：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变能和外力所做之总功。弯曲刚度为EI。,多载荷作用杆件应变能计算,解:(2) 计算外力所
11、作之总功,梁的应变能等于外力所做总功,多载荷作用杆件应变能计算,例7 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力F 和集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,多载荷作用杆件应变能计算,(2) 先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始 态和终态有关，而与加载次序无关。,多载荷作用杆件应变能计算,(3) AB 梁
12、的应变能也可通过截面上的内力来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,多载荷作用杆件应变能计算,互等定理,第11章 材料力学中的能量法,互等定理, i 代表位置，j 代表载荷,同一弹性体的两种受力状态,功的互等定理,若F1=F2,位移互等定理,先加 F1，后加 F2：,先加 F2，后加 F1：,考察F1,F2 对弹性体的做功,互等定理,功互等定理, i 代表位置，j 代表载荷,线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。,功的互等定理, 关于功的互等定理的说明
13、：, 成立的前提是对于线弹性体；, 两组外力之间，功的互等定理也成立；, 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；,功互等定理,Clapeyron原理,由功的互等定理反证Clapeyon原理,考察F1,F2 对弹性体的做功，先加 F1，后加 F2：,位移互等定理,图c中，当F和M数值相等时，,抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度 ，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中 载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。,解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。,挠曲线与原始轴线围成的面积,第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC 。,由功的互等定理,
14、解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组 力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。,虚位移原理与内力虚功,第11章 材料力学中的能量法,虚位移,实位移, 113 虚位移原理与内力虚功,1、虚位移 ,满足约束条件的假想的任意微小位移。,回顾刚体虚功原理,2、虚位移原理,虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。,虚功：力在虚位移中作的功,几何法,解析法,113 虚位移原理与内力虚功,拉格朗日-意大利数学家，研究变分法,第一位提出虚位移原理
15、。,是常力作功。,变形体的虚位移,满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移,113 虚位移原理与内力虚功,变形体虚功原理：,虚位移不是由作功的力引起的，而是其它因素（如其它力、支座移动、温度改变等）引起的,由作功的力引起的位移 实位移, 可以是某一(或某几个)真实位移的增量。, 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移。,变形体的虚位移,虚功原理 (Principle of virtual work),113 虚位移原理与内力虚功,在外部力系作用下的变形体，当给其与约束条件一致的虚变形时，如果依然保持平衡，则外力在虚位移上作的虚功与内力在其相应虚变形上所作虚功之和为零。,梁上荷载：,F1，
16、F2， F3， F4， RA， RB,给梁任一虚位移，荷载作 用点沿其作用方向的相应 虚位移（支座处没有虚位 移）为,1， 2， 3， 4,(一) 梁的外力虚功,A,l,B,外力虚功为,113 虚位移原理与内力虚功,(二) 梁的内力虚功,弯矩虚功,113 虚位移原理与内力虚功,剪力虚功,(二) 梁的内力虚功,113 虚位移原理与内力虚功,略去二阶小量则为,(二) 梁的内力虚功,梁的虚位移原理为,113 虚位移原理与内力虚功,若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 Q， 还有轴力 FN 和扭矩 Mx，则杆的虚位移原理为, i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d ， d 分别为与弯矩M ，剪力Q，轴力FN 和扭矩 Mn相对应虚 位移；, 虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.,113 虚
