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1、1,前面解决了强度问题（简单变形组合变形） 刚度问题怎么办？ 1、能否避免组合变形的微分方程？ 2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线 用揭示本质法寻根 能量法,2,本章就寻找能量方法，用于求位移 优点： 1. 不管中间过程，只算最终状态 2. 能量是标量，容易计算,能量方法？,材料力学,第十一章 能量方法,第十一章 能量方法,115 莫尔定理(单位力法),111 概述,112 变形能的普遍表达式,113 卡氏定理,114 虚功原理,5,11-1 概述,1. 变形功与变形能,弹性杆受拉力P作用，当P 从零开始到终值 ,缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至 而做的功，称
2、为变形功。,同时弹性杆被拉长 而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。单位体积储存的应变能称为应变比能,6,2. 应变余功与余能,余功,余能,余应变比能,余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。,7,固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。,一. 能量原理,112 变形能的普遍表达式,8,1. 轴向拉伸或压
3、缩线弹性杆件,拉、压杆应变比能,或,则整个杆的变形能,9,线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为,2.纯剪，扭转线弹性杆件,扭转杆的变形能,或,10,3.线弹性梁弯曲,弹性弯曲杆的应变比能,整个杆的变形能,其中,M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）,一、能量原理：,二、杆件变形能的计算：,1.轴向拉压杆的变形能计算：,弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即,利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。,2.扭转杆的变形能计算：,3.弯曲杆的变形能计算：,13,对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成 式中P 在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯
4、曲时代表弯曲力偶矩，P 称为广义力，而与之相应的位移，称为广义位移，如拉伸时它是与P 相应的线位移 ；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移 ;弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移。更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。,4.广义力与广义位移,14,1. 广义力P1，P2，Pn 作用于物体且设按同一比例系数从零增长到终值。相应地物体产生变形（广义位移） ， ,， ，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例增加，这时，外力对物体做功称为变形功，这一功以变形能储藏在物体内。如果外力在某一中间值,P1，P2，Pn 时，外力有一增量d,则,15,物体的变形能为,对上式积分则有,广义变形
5、能的一般表达式,=,16,2. 对于杆件的组合变形，可取出微段dx来考察，如图，截面上有弯矩M(x)，扭矩T(x)和轴力N(x)，它们可视为外力。设两截面轴向位移为 ，相对扭转角为 ，相对转角为,，微段变形能（对线弹性材料）：,其中,，,，,17,代入上式并积分，得组合变形杆件的变形能一般表达式：,细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计:,18,位移互等定理,功互等定理与位移互等定理,最终变形能与加载顺序无关,19,对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。,=,20,位移互等定
6、理：Pi作用点沿Pi方向由于 而引起的位移 ，等于 作用点沿 方向由于Pi引起的位移 .,上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。,21,【例11-4】 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图，试用互等定理求解。,【解】解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力RB作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。在X=1作用下悬臂梁上的P及RB作用点的相应位移分别为,22,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：,第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。由功互等
7、定理有：,解得,MN,例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,求内力,A,P,R,O,外力功等于应变能,变形能：,例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,应用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,C,a,a,A,P,B,f,26,1. 卡氏第一定理,113 卡氏定理,2.卡氏第二定理,27,则有,由,卡氏第一定理,【例1】,给Pn 以增量 dPn ，则：,1. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则：,2.先给物体加力 dPn ，则：,【例2】,再给物体加P1、 P2、
8、Pn 个力，则：,意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 18471884),二、使用卡氏定理的注意事项：,U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能, Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数, n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。, 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后，再令其为零。,三、特殊结构（杆）的卡氏定理：,例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。,变形,求内力,解：求挠度，建坐标系,将内力对PA求偏导,A,L,P,EI,求转角 A,求内力,没有与A向相对应的力（广义力），加之。,“负号”
9、说明 A与所加广义力MA反向。( ),将内力对MA求偏导后，令M A=0,求变形（ 注意：M A=0）,L,x,O,A,P,M,A,例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。,解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）,求内力,将内力对Px 求偏导后，令Px=0,没有与f（x）相对应的力，加之。,P,A,L,x,C,变形（ 注意：Px=0）,例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。,求内力,解：1.依 求多余反力，,将内力对RC求偏导,取静定基如图,P,C,A,L,0.5 L,B,变形,2.求,将内力对P求偏导,求内力,变形,变形,解：画单位载荷图,求内力,例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。
10、,P,P,A,B,41,11-4 虚功原理,虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的虚字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。,42,虚功原理 又称虚位移原理：如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上
11、所做的虚功，即：,43,在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移,虚功为,另一方面，梁内力对于虚位移所做的虚功,根据能量守恒，这两个总虚功相等,44,单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图刚架A点a-a方向的位移，可将该系统真实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系,则应用虚功原理有：,115 莫尔定理(单位力法),45,对于拉压杆件，则只保留式中的第一项：,=常数，则上式改为：,对于有n根杆组成的桁架，则有：,对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：,46,仿照上述推导如要求受扭杆某一截面的扭转
12、角，则有,若结构材料是线弹性的，则有,这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。,求任意点A的位移f A 。,一、定理的证明：,a,A,图,fA,莫尔定理(单位力法),二、普遍形式的莫尔定理,三、使用莫尔定理的注意事项：, M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。,莫尔积分必须遍及整个结构。, M0去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。, M(x)：结构在原载荷下的内力。, 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。,例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。,解：画单位
13、载荷图,求内力,B,q,x,变形,x,求转角，重建坐标系（如图）,=0,例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。,解：画单位载荷图,求内力,5,20,A,300,P=60N,B,x,500,C,x1,变形,第十一章 练习题 一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为： 二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。 三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移（忽略CD段的拉伸变形）。,解：,四、抗弯刚度为EI的梁如图，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力P作用点的挠度。 解： 系统的变形能 C截面的挠度,本章结束,
