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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 演练经典习题4 理 北师大版1(2016苏、锡、常、镇四市调研)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,BCBC1,ABBC1,E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点,求证: (1)平面ABC平面ABC1;(2)EF平面BCC1B1;(3)FG平面AB1C1.证明:(1)ABBC,BCBC1,ABBC1B,BC平面ABC1.又BC平面ABC,平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中,E、F分别为AC1、A1C1的中点,EFAA1,几何体ABCA1B1C1为三棱柱,BB1AA1,EFBB1,BB1平面BCC1B1,EF平面BCC1B
2、1,EF平面BCC1B1.(3)在AA1C1中,E、F分别为AC1、A1C1的中点,EFAA1,EFAA1.在三棱柱ABCA1B1C1中,G为BB1的中点,BGAA1,BGAA1,EFBG,且EFBG,连接BE,则四边形BEFG为平行四边形,FGEB.ABBC1,E为AC1的中点,BEAC1,则FGAC1.BCAB,BCBC1,B1C1BC,B1C1AB,B1C1BC1,又ABBC1B,B1C1平面ABC1.BE平面ABC1,B1C1BE,则B1C1FG,AC1B1C1C1,FG平面AB1C1.2已知四棱锥PABCD及其三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)
3、不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;(3)若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小解:(1)由三视图可知,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC2,VPABCDS正方形ABCDPC122,即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BDAE.证明:连接AC,ABCD是正方形,BDAC,PC底面ABCD,且BD平面PAC.BDPC.又ACPCC,BD平面PAC.不论点E在何位置,都有AE平面PAC,不论点E在何位置,都有BDAE.(3)在平面DAE内,过点D作DFAE于F,连接BF.ADAB1,DEBE,AEAE,RtADERtABE
4、,从而ADFABF,BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角在RtADE中,DFBF,又BD,在DFB中,由余弦定理得cosDFB,DFB120,即二面角DAEB的大小为120.3在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形已知AB3,AD2,PA2,PD2,PAB60.(1)证明AD平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小;(3)求二面角PBDA的正切值的大小解:(1)证明:在PAD中,由题设PA2,AD2,PD2,可得PA2AD2PD2,于是ADPA.在矩形ABCD中,ABAD,又PAABA,所以AD平面PAB.(2)由题设,BCAD,所以PCB(或其补角)是异面直线PC与
5、AD所成的角在PAB中,由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,因而BCPB,于是PBC是直角三角形,故tanPCB.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为.(3)如图所示,过点P作PHAB于H,过点H作HEBD于E,连接PE.因为AD平面PAB,PH平面PAB,所以ADPH.又ADABA,因而PH平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影,BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得,PHPAsin 60,AHPAcos 601,BHABAH2,BD,由RtBEHRtBAD,得HEBH.于是在RtPHE中,tanPEH.所以二面角PB
6、DA的正切值的大小为.4(2016广东珠海模拟)已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD1,AB2,E、F分别是AB、PD的中点(1)求证:AF平面PEC;(2)求二面角PECD的余弦值;(3)求点B到平面PEC的距离解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F,P(0,0,1)(1)证明:取PC的中点M,连接ME,则M,故,所以AFEM.又EM平面PEC,AF平面PEC,AF平面PEC.(2)设平面PEC的一个法向量为m(x,y,z),(1,0,1),(1,1,0),则可
7、得令z1则m(1,1,1),由(1)可得平面ABCD的一个法向量(0,0,1),cosm,.由题图易知二面角PECD的平面角为锐角,其余弦值等于.(3)点B到平面PCE的距离d,而(1,0,0),故d.5如图所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PAAB,点E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离;(2)若AD,求二面角AECD的平面角的余弦值解:法一:(1)如图所示,在矩形ABCD中,ADBC,从而AD平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因为PA底面ABCD,故PAAB.由PAAB知PAB为等腰直角三角形又点E是棱PB的中点,故
8、AEPB.又在矩形ABCD中,BCAB,而AB是PB在底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BCPB,从而BC平面PAB,故BCAE.从而AE平面PBC,故AE的长即为直线AD与平面PBC的距离在RtPAB中,PAAB,所以AEPB.(2)过点D作DFCE,交CE于F,过点F作FGCE,交AC于G,则DFG为所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB,又ADBC,得AD平面PAB,故ADAE,从而DE.在RtCBE中,CE.由CD,知CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DFCDsin .因为AE平面PBC,故AECE.又FGCE,知FG綊AE,从而FG,且G点为AC的中点,连接DG,则在R
9、tADC中,DGAC.所以cosDFG.所以二面角AECD的平面角的余弦值为.法二:(1)如图所示,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.设D(0,a,0),则B(,0,0),C(,a,0),P(0,0,),E.因此,(0,a,0),(,a,),则0,0,所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为|.(2)因为|,则D(0,0),C(,0)设平面AEC的法向量n1(x1,y1,z1),则n10,n10.又(,0),故所以y1x1,z1x1,可取x1,则n1(,2,)设平面DEC的法向量n2(x2,y2,z2),则n20,n20.又(,0,0),故所以x20,z2y2,可取y21,则n2(0,1,)故cosn1,n2所以二面角AECD的平面角的余弦值为.