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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第五章 数列 文 北师大版第1课时数列的概念与简单表示法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项数列一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为数列an，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项2数列的分类3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为N或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列4数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的
2、函数关系可以用一个式子表示成anf(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式基础自测1(教材改编题)已知数列an的通项公式为an299n，则在下列各数中，不是an的项的是()A20B11C2 D7解析：由299n2得nN，故选C.答案：C2在数列an中，a11，an2an11，则a5的值为()A30 B31C32 D33解析：由得a22a113，a32a217，a42a3115，a52a4131，故选B.答案：B3已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析：an1an30，an1an，故数列an为递增数列答案：A4已知数列an的前n项的和Snn21，则a
3、n_.解析：当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，当n1时，a1S12，不满足an2n1，an答案：5下列有四种对数列的理解：数列可以看成一个定义在N(或它的有限子集1,2,3，n)上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的其中说法正确的所有序号是_解析：由数列与函数的关系可知正确，由数列的分类可知错误，显然错答案：考点一由数列的前几项求数列的通项公式例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3333，.审题视点先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之
4、间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3 ，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(
5、3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来1数列1，的一个通项公式an是()A.BC. D解析：由已知得，数列可写成，故通项为.答案：B大一轮复习BSD数学(文)第五章数列2.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，；(4)，1，；(5)0,1,0,1，；(6)9,99,999,999 9，.解析：(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，
6、故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，原数列可化为，an(1)n.(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它的一个通项公式为an.(5)an或an或an.(6)这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式an10n1.考
7、点二由递推公式求数列的通项公式例2根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列an中，a11，an1an2n；(2)在数列an中，a14，an1an；(3)在数列an中，a13，an12an1；(4)在数列an中，an13a，a13；(5)已知数列an的前n项和Sn2n23n1.审题视点(1)由an1an2n得an1an2n，可采用累加求和的方法；(2)由an1an得，可采用累乘的方法；(3)可构造等比数列求解；(4)由条件可知an0，可采用两边取对数的方法求解；(5)利用anSnSn1求解解(1)由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)个式子，累加即可得(a2a1)
8、(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.当n1时，a11也符合，所以an2n1(nN)(2)由递推关系an1an，a14，有，于是有3，将这(n1)个式子累乘，得.所以当n2时，ana12n(n1)当n1时，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2为公比的等比数列所以bnb12n1(a11)2n12n1，所以anbn12n11(nN)(4)由已知，an0，在递推关系式两边取对数，有lgan12lganlg 3.令bnlgan，则bn12bnlg 3.所以b
9、n1lg32(bnlg 3)，所以bnlg 3是等比数列所以bnlg 32n12lg 32nlg 3.所以bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an.所以an32n1.(5)当n1时，a1S12123110；当n2时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1时，an4151a1，an(1)数列递推关系形如an1anf(n)，其中f(n)的前有限项可求和此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法(2)数列递推关系形如an1g(n)an，其中g(n)的前n项的乘积容易化简此数列求通项公式一般采用累乘法(3)数列
10、递推关系形如an1cand(c、d为常数)求通项公式常用构造新数列法(4)数列的递推关系形如an1pa(p、r为常数，且p0，an0)，求an时一般采用递推关系式两边取对数的方法(5)数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示1(2016菏泽高三检测)已知数列中，a11，(n1)annan1，则数列的通项公式an_.解析：由(n1)annan1，可得.当n2时，2.将以上各式累乘求得n，ann，而n1也适合数列的通项公式为ann.答案：n2(2016山东临沂模拟)已知数列a
11、n满足a11，an13an2，则数列an的通项公式为_解析：an13an2，an113(an1)3，数列an1是等比数列，公比q3.又a112，an123n1，an23n11.答案：an23n11考点三数列的函数特性例3已知函数f(x)，设f(n)an(nN)(1)求证：an0，0，11.即an0，即an1an0，即an1an.故数列an是递增数列法二：由(1)知an1，易判断该函数是增函数，an是递增数列(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解
12、决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图像等方法(3)若求最大项an，则an满足；若求最小项an，则an满足1(2016福州八中质检)已知数列a满足a11，an1a2an1(nN)，则a2016_.解析：a11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的周期数列，a2016a20.答案：02(2016大连市高三检测)已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，bn，若对任意的nN，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_解析：依题意得bn1，对任意的nN，都有bnb8，即数列的最小项是第8项，于是有.又数列是公差为1的等差数列，因此有，即，由此解得8a7，即实数a的取值范围是(8，7)答案：(8，7)由递推关系求通项公式典例已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解题指南(1)由赋值求解(2)利用累乘法求解解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.
