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1、第七章 立体几何 7.3 空间图形的基本关系及公理课时规范训练 理 北师大版A级基础演练1(2016台州模拟)以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：中显然是正确的；中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确答案：B2(2016江西七校联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分
2、别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.答案：D3(2016信阳模拟)平面、的公共点多于两个，则、垂直；、至少有三个公共点；、至少有一条公共直线；、至多有一条公共直线；以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于()A0 B1C2 D3解析：由条件知当平面、的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则、相交；若公共点不共线，则、重合故不一定成立；成立；成立；不成立答案：C4(2013高考新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A
3、且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知与相交，且交线平行于l，故选D.答案：D5(2013高考江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析：取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案：46(20
4、16济南一模)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如图，设ACBDO，连接VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，又因为VOACO，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：7(2016宜城模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点证明：(1)连接EF、GH.由E、F分
5、别为AB、AD的中点，EF綊BD，又CGBC，CHDC，HG綊BD，EFHG且EFHG.EF、HG可确定平面，即E、F、G、H四点共面(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG.四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EGO，点O直线FH，直线FH面ACD，点O平面ACD.同理点O平面ABC.又面ACD面ABCAC，点O直线AC(公理3)直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点8已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA12，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积解：(1)连BD，AB1，B1D1，AD1.BDB1D1，异面直
6、线BD与AB1所成角为AB1D1(或其补角)，记AB1D1，由已知条件得AB1AD1，在AB1D1中，由余弦定理得cos 异面直线BD与AB1所成角的余弦值为.(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积，VVABCDA1B1C1D14VCB1C1D124.B级能力突破1(2014高考辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n解析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断法一：若m，n，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任
7、一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错法二：如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示.A项中，若m为AB，n为BC，满足m，n，但m与n是相交直线，故A错B项中，m，n，mn，这是线面垂直的性质，故B正确C项中，若m为AA，n为AB，满足m，mn，但n，故C错D项中，若m为AB，n为BB，满足m，mn，但n，故D错答案：B2设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：根据题意构造四面体ABCD，ABa，CD，ACADBCBD
8、1，取CD中点E，连结BE，AE，则AEBE.又a，0a.故选A.答案：A3(2014高考新课标全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，取B C的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND.答案：C4. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH
9、与MN成60角；以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角答案：5设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若ab，bc，是ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a
10、，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确答案：6在长方体ABCDA1B1C1D1的面A1C1上有一点P，如图所示，其中P点不在对角线B1D1上(1)过P点在空间中作一直线l，使lBD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与BD成角，其中，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线B1D1BD，lB1D1，lBD.(2)在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成角，BDB1D1，直线m与直线BD也成角，即直线m为所求作的直线由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角.当时，这样的直线m有且只有一条，当时，这样的直线m有两条
