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1、高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算一【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。几何表示法，；坐标表示法。向量的模（长度），记作|.即向量的大小，记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，规定平行于任何向量。（与0的区别）单位向量1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作相等向量记为。大小相等，方向相同2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b特殊情况：向量加法的三角形法则可推广至多个向量相
2、加： ，但这时必须“首尾相连”。向量减法： 同一个图中画出 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。 二【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向
3、(2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8) 的充要条件是且； (9) 若四边形ABCD是平行四边形,则练习. (省市一诊)在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例2 化简= 练习1.下列命题中正确的是 A BC D2.化简得 A B C D3如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.0 B.0C.0 D.0 题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在所在的平面上
4、有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C D例4重心、垂心、外心性质ABCDE练习: 1如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，2已知求证3若为的心，且满足，则的形状为（ ） A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形4已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则()A2 B2 C. D5已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若320，则等于_6已知平面有一点P及一个ABC，若，则()A点P在ABC外部 B点P在线段AB上 C点P在线段BC上 D点P在线段AC上7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于()A. B.
5、 C D题型四: 三点共线问题例4 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值例5已知A、B、C、P为平面四点， A、B、C三点在一条直线上 =m+n，求证： m+n=1练习：1已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线2(原创题)设a，b是两个不共线的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示一【要点精讲】1平面向量的基本定理如果是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示
6、这一平面所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系，我们分别取与轴、轴方向相同的_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得，把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3平面向量的坐标运算（1）若，则=，= （2） 若，则 （3）若和实数，则4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中BCAOMD ()的充要条件
7、是二【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面的任一向量例1 在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.练习:1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A与 B3与2 C与 D与22在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例3 已知A（2,4）、B（3,1）、C（3,4）且,求点M、N的坐标及向量的坐标. 练习:1. (2008年高考卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为() A(2，) B(2，) C(3,2) D(1
8、,3) 2若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标； 3若M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且 , 求P点的坐标； 4.(2009年卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( ) A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，4)，点G(2，1)在中线AD上，且2， 则点C的坐标是()A(4,2) B(4，2) C(4，2) D(4,2)6设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边
9、形，则向量d为()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)7已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a 等于()A2 B1 C. D.题型三: 平行、共线问题 例4已知向量，若，则锐角等于（ ） A B C D 例5（2009卷文）已知向量， 如果那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向 练习：1若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x 2已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及， 求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。 (2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；
10、若不能，请说明理由。 3已知向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值为() A1 B C. D1 4已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则等于()A B2 C. D25已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()Am2 Bm Cm1 Dm16已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。题型四：平面向量综合问题例6 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积
11、 . 练习已知点A(1,2)，B(2,8)以及，求点C、D的坐标和的坐标第三讲 平面向量的数量积及应用一【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，围0q180。C（2）数量积的概念非零向量与， =cos叫做与的数量积（或积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.注意：只要就有=0，而不必=或=由=及0却不能推出=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图) ()()，向量的数量积是不满足结合律的对于向量、，有|，等号当且仅当时成立（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立；向量的夹角：cos=。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O（7）平面两点间的距离公式设，则或。 (平面
