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1、第五章 相交线与平行线一、相交线相交线:如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。ADCOB对顶角:两条直线相交出现对顶角。顶点相同,角的两边互为反向延长线.,满足这种关系的角,互为对顶角,对顶角相等。对顶角是成对出现的。邻补角:有一条公共边,角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角,互为领补角。邻补角与补角的区别与联系v 1.邻补角与补角都是针对两个角而言的,而且数量关系都是两角之和为180v 2.互为邻补角的两个角一定互补,但是互为补角的两个角不一定是邻补角即:互补的两个角只注重数量关系而不谈位置,而互为邻补角的两个角既要满
2、足数量关系又要满足位置关系。领补角与对顶角的比较二、垂线垂直:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。baO从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。垂直的表示:用“”和直线字母表示垂直例如:如图,a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线,b也叫a的垂线。则记为:ab或ba; 若要强调垂足,则记为:ab, 垂足为O.垂直的书写形式: 如图,当直线AB与CD相交于O点,AOD=90时,ABCD,垂足为O。书写形式:DAOAOD=90(已知)ABCD(垂直的定义)反之,若直线
3、AB与CD垂直,垂足为O,那么,AOD=90。C书写形式: ABCD (已知)B AOD=90 (垂直的定义)应用垂直的定义:AOC=BOC=BOD=90垂线的画法:BAl如图,已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. 工具:直尺、三角板1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.垂线的性质:1、同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂
4、线段的长度,叫做点到直线的距离。 FEDCBA87654321三、同位角、内错角、同旁内角(出现在一条直线与两条直线分别相交的情形)同位角:一边都在截线上而且同向,另一边在截线同侧的两个角。如1和5,4和8。内错角:一边都在截线上而且反向,另一边在截线两侧的两个角。(两个角在两条截线内)如3和5,4和6。同旁内角:一边都在截线上而且反向,另一边在截线同旁的两个角。(两个角在两条截线内)如3和6,4和5。同位角、内错角、同旁内角的比较四、平行线平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行线的表示: 我们通常用符号“/”表示平行。任意两条直线,有两种位置关系,一种是相交,另一种是平行。平
5、行线的画法:P已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。一、帖(线)二、靠(尺)a三、移(点)四、画(线)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 ba b c a cab平行线具有传递性。c12abc五、平行线的判定判定方法1: 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 简单说成:同位角相等, 两直线平行32abc判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.34abc判定方法3:两条直线被第
6、三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.六、平行线的性质:性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说:两直线平行,同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说:两直线平行,内错角相等.性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简单地说:两直线平行,同旁内角互补.七、命题、定理、证明命题:判断一件事情的语句,叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果那么”的形式,“如果”后的部分是题设,
7、“那么”后的部分是结论。 如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题称真命题。命题成立,而结论不一定成立,这样的命题称假命题。定理:有些真命题是基本事实,它们的正确性是经过推理证实的,无需再次进行证明的,这样的真命题叫定理。证明:很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理的过程叫做证明。九、平移平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移的性质:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。平移作图:将线段AB平移,使点A与点D对应。 1、连结AD2、过点B作AD的平行线 3、在平行线上作线段BC,使BC=AD4
8、、连结CD第六章 实数一、平方根算术平方根:如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。0的算术平方根是0。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a (x可能为正数,也可能为负数),那么x就叫做a的平方根(二次方根).开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。平方根的表示方法:如果x2=a (a0), 那么x = ,读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示 a的负的平方根。规定:正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根;0的算数平方根是0.归纳:1、正数有两个平方根,它们互为相
9、反数;2、0的平方根是0;3、负数没有平方根。例题1: 方法: 1、把x2当作一个整体,求出x2=a;2、再根据平方根的定义求x.例题2: (1) 81的平方根是 _ 。 (2) 的平方根是 _ 。 二、立方根立方根:若一个数的立方(三次方)等于a,那么这个数叫做 a 的立方根(三次方根)若x 是 a 的立方根,则说明x 3 = a。a 的立方根记为: ,读作“三次根号a”。 根指数被开方数开立方:我们把求立方根的运算称之为开立方,它与立方运算是互逆的。(1) 8 的立方根: (2)- 64 的立方根:归纳:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。平方根和立方根的异
10、同点三、实数无理数:无限不循环小数称为无理数。(开方开不尽的数;含有的数;有规律但不循环的数。) 如,等实数:有理数和无理数统称实数。实数与数轴:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。归纳:1、a是一个实数,它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。(在实数范围内,相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。)第七章 平面直角坐标系一、有序数对有序数对:把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)。利用有序数对,能准确表示一个位
11、置,这里两个数的顺序不能改变。二、平面直角坐标系平面直角坐标系:平面内两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。水平方向的数轴称为x轴或横轴,习惯取向右的方向为正方向;竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴,习惯取向上的方向为正方向;两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 . 条数轴互相垂直公共原点满足这三个条件才叫平面直角坐标系注意:坐标轴上的点不属于任何象限。平面直角坐标系中两条数轴特征:(1)互相垂直 (2)原点重合 (3)通常取向上、向右为正方向(4)单位长度一般取相同的平面上点的表示:平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵
12、坐标,则有序数对(a,b)叫做点P的坐标,记为P(a,b) 注意:横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开.直角坐标系中点的坐标的特点:三、用坐标表示平移平移:把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。我们先试一试:在坐标中描出点A(-2,-3)并进行如下平移:(1)将点A向右平移5个单位长度得到点A1,则 点A1的坐标是_ (2)将点A向左平移3个单位长度得到点A2,则 点A2的坐标是_ (3)将点A向右平移a(ao)个单位长度得到点An,则 点An的坐标是_ (4)将点A向左平移a(ao)个单位长度得到点An,则 点An 的坐
13、标是_总结规律1:图形平移与点的坐标变化的关系(1)左、右平移:原图形上的点(x,y) ,向右平移a个单位,(x+a,y)原图形上的点(x,y) ,向左平移a个单位,(x-a,y)(2)上、下平移:原图形上的点(x,y) ,向上平移b个单位,(x,y+b)原图形上的点(x,y) ,向下平移b个单位,(x,y-b)总结规律2:图形上点的坐标变化与图形平移间的关系(1)横坐标变化,纵坐标不变:原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x+a,y),要向右平移a个单位。原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x-a,y),要向左平移a个单位。(2)横坐标不变,纵坐标变化:原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x,y+b),要向上平移b个单位。原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x,y-b),要向下平移b个单位。(3)横坐标、纵坐标都变化:原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a个单位,向上平移b个单位;原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a个单位,向下平移b个单位;原图形上的点(x,y) ,如果要得到(x-a,y+