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1、,李建宇 天津科技大学,有限元分析,Finite Element Analysis,内容 平面问题的有限元法 1 1 连续体的离散化 2 常应变三角形单元 3 形函数的性质 4 刚度矩阵 要求 理解：连续体有限元分片插值的含义 有限元分析中的几个常用概念，包括： 形函数，应变矩阵，应力矩阵，刚度矩阵等 掌握：常应变三角形单元分析流程 课后作业 推导常应变三角形单元各矩阵,回顾,刚架有限元分析的基本流程,整体 离散,梁单元分析,单元 组装,整体解算,刚架结构,离散化方法,其中：e = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; i ,j = 1, 2, 3, 4,回顾,天然划分出各梁单元,梁单元分析,
2、由材料力学得： 单元节点力与单元节点位移之间的关系,回顾,总体刚度矩阵的组装,位移协调条件：各单元共享节点的位移相等,节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系,回顾,最终数学模型：,基本概念,回顾,新问题：连续体的有限元分析,如何离散化？,如何单元分析？,如何组装单元？,一、连续体的离散化（化无限为有限）,节点位置，单元形状、大小都会影响对原始结构的逼近描述,平面问题: 三角形、矩形、任意四边形,空间问题: 四面体、正方体、任意六面体,Ansys中的Meshing功能,单元分析的理论基础：,二、平面问题三角形单元分析,建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系,单元分析的目的：,弹
3、性力学基本理论,单元节点位移,单元等效节点力,(基本变量，基本方程，边界条件),二、平面问题三角形单元分析,平面问题弹性力学基本理论回顾：,物理方程,平面应力问题,平面应变问题,单元分析的流程,单元变形分析,单元变形分析（位移）,问题：平面三角形问题中仍包含无穷多内部连续点，如何用节点位移表征内部连续位移？,二、平面问题三角形单元分析,解决思路：插值，即用节点位移插值近似其它点的位移。,如何插值？,多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。,二、平面问题三角形单元分析,单元变形分析（位移）,插值系数的确定：待定系数法,6个方程 6个系数,二、平
4、面问题三角形单元分析,矩阵表达和运算,令,A为三角形单元的面积,T*为T的伴随矩阵：,二、平面问题三角形单元分析,矩阵表达和运算（续）,令,同理，由,回代，得,二、平面问题三角形单元分析,三角形单元形函数,令,得,单元内各点位移：,单元节点位移：,形函数,例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵N。,由三角形的面积,形函数有哪些的性质？,二、平面问题三角形单元分析,单元变形分析（应变）,位移,应变,代入,记为,B矩阵称为应变矩阵。,常数,二、平面问题三角形单元分析,单元应力分析,应变,应力,代入,记为,S矩阵称为应力矩阵。,D为弹性矩阵,单元平衡分析,二、平面问题三角形单元分析,问题：假设隔离
5、出的各单元，仅在节点上有内力的作用（若单元边界上和体内有力的作用，可事先等效到节点上，如何等效？），则单元节点内力与变形产生的应力构成平衡力系。,单元满足平衡条件,单元平衡分析,二、平面问题三角形单元分析,平面问题虚功原理,代入,得,内力虚功,二、平面问题三角形单元分析,单元平衡分析,外力虚功,载荷等效公式,二、平面问题三角形单元分析,单元平衡分析,外力虚功内力虚功,令,Ke单元刚度矩阵,单元刚度方程,连续体三角形单元分析小结,单元位移：节点位移插值,单元刚度方程：由虚功方程建立,离散化：,单元分析：,单元应变：由几何方程建立,单元应力：由物理方程建立,下次课内容：单元组装和单元等效节点外载,课后作业,如图（a）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量E、泊松比v1/3，悬臂梁的厚度（板厚）为t，如图（b）所示有限元模型，试按平面应力问题计算两个单元的位移形函数，应变矩阵，应力矩阵和刚度矩阵。,再 见,
