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1、,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,三、积分表的使用,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,例. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,故,待定系数法,(3) 混合法,原式 =,四种典型部分分式的积分:,变分子为,
2、再分项积分,例1. 求,解: ,例2. 求,则有,分别令,可求得,解之得,所以,例3.,求,则,分别令,得,解之得,例. 求,解: 原式,思考: 如何求,例. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例. 求,解: 原式,例. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,1. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的
3、有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,二 、可化为有理函数的积分举例,例3. 求,解：设, 即, 则,例4. 求,解: 令,则,原式,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,2. 三角函数有理式的积分,则,万能变换:,可将任意三角函数有理式不定积分,转化为有理函数的积分.,令,则,例. 求,解: 令,则,例. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.,积分表的结构: 按被积函数类型排列,积分表的使用:,1) 注意公式的条件,2) 注意简单变形的技巧,注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Matlab,等数学软件的符号演算功能求得 .,的效率,三、积分表的使用,例 . 求,解法1,令,则,原式,例 . 求,解法2 令,则,原式,解：,这是含三角函数的积分.,在积分表中查得公式,这里n=4, 于是,例. 求,解:,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,
