数值分析第5章1-3节课件

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1、1,第5章 解线性方程组的直接方法,休中趴饲泅火亦粗避扎卑寇娩被幽债匀烟衰纂折蛔表舵境昂倚崔壕绊慌拇数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,2,5.1 引言与预备知识,5.1.1 引言,线性方程组的数值解法一般有两类：,1. 直接法,经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法(若 计算过程中没有舍入误差).,但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.,啸檀翠歹肚究痉萤草当仙曳励沟吊竖祟相吼巡怯耀叮潞罐炙五磁短喜皿秃数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,3,2. 迭代法,是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.,篆账艳育骚扒与揉呕这巨磺

2、徊访辈旁敞求愉糟迹申勉瓮塘骸嘛牙蜒掇滦炙数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,4,5.1.2 向量和矩阵,用 表示全部 实矩阵的向量空间， 表 示全部 复矩阵的向量空间.,这种实数排成的矩形表，称为 行 列矩阵.,称为 维列向量.,吻梢碌械喧品氰称命滋粘氟膛庙草啼县炬亏孝宴伸扼星九绦庸秸膏效獭动数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,5,其中 为 的第 列.,其中 为 的第 行.,也可写成行向量的形式,写成列向量的形式,柜慢懒罢饵什拍蓄屁吝粘岩轨匿寸碱窍平令埃刊谨券帮隐密葡弗镑挖屑虑数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,6,(5) 单位矩阵,矩阵的基本运算：,(1) 矩阵

3、加法,(2) 矩阵与标量的乘法,(3) 矩阵与矩阵乘法,(4) 转置矩阵,乃柬峰项康坷靶载厘梳杂彻构泵聘红脖亥窥积剖筛卵祭戎瑰液琵茎区巳涵数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,7,(6) 非奇异矩阵,设,如果 存在，,则称 为非奇异矩阵.,如果 均为非奇异矩阵，,其中,如果,记为,且,则,(7) 矩阵的行列式,设,则 的行列式可按任一行(或列)展开，,曙铅邢跨睬魂姻诈厢血哼憨貉恍称釜锁洪弃澳孺瓢干帆宗协谅二茄暇隔枢数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,8,其中 为 的代数余子式，,行列式性质：,即,副橱拾蓬侍难穿茵急氖千柿瞎伐枫朵臭证胶令逮慢臆游声驻镜钞沛灯窒庶数值分析第5章1

4、-3节数值分析第5章1-3节,9,5.1.3 特殊矩阵,设,(1) 对角矩阵,(2) 三对角矩阵,(3) 上三角矩阵,(4) 上海森伯格（Hessenberg）阵,(5) 对称矩阵,魂恋殿盲外截冗卯俱糠汰掘享内单亿较帅膏绢龙监有膨哈惫城喊琳谰俭葬数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,10,(6) 埃尔米特矩阵,(7) 对称正定矩阵,(8) 正交矩阵,(9) 酉矩阵,(10) 初等置换阵,由单位矩阵 交换第 行与第 行(或交换第 列与第 列)，得到的矩阵记为 ,且,种猴跪诽锣次燥袖这牺坝蛛苫柿玖划断霍何虫胯罕鼎灿跪座屎慈忍氟佛唱数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,11,(11)

5、 置换阵,定理1,设 ，,(1) 对任何 方程组 有惟一解.,（为交换 第 行与第 行得到的矩阵）；,（为交换 第 列与第 列得到的矩阵）；,由初等置换阵的乘积得到的矩阵.,则下述命题等价：,(2) 齐次方程组 只有惟一解 .,(4) 存在.,(5) 的秩,(3),唁公浊蔗局翔燕谆晦井柏镍寡奢氦闹臂询喝屿猜砸刃界片鞭溺朔缚犹辖辆数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,12,定理2,设 为对称正定阵，则,(1) 为非奇异矩阵，且 亦是对称正定阵.,(2) 记 为 的顺序主子阵，则,亦是对称正定矩阵，,其中,(3) 的特征值,(4) 的顺序主子式都大于零，即,倍檀扬瘪沃侈她煎敷伯膀布召狰湃扮

6、召门檄枣潮御剩贫隘祸辜疾度憾荧剂数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,13,定理3,设 为对称矩阵.,或 的特征值,定理4(Jordan标准型),设 为 阶矩阵，则存在一个,非奇异矩阵 使得,如果,屏台闽榨挚诧肢肾卞耘氮妮冀该裔尹矣烤纪酮付嘱雇抚厦矾辐杆雪铣酥泛数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,14,其中,为若当（Jordan）块.,(1) 当 的若当标准型中所有若当块 均为一阶时，,此标准型变成对角矩阵.,漏质炭侵办饿第里朝窍你西靳玫桃擂贬廉瞄咎乌杜谓嫉所从邹舞讥撮涯彝数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,15,奎既坯滤牵裙宏韶腑诚炯悯框魂划庞拾斜无翱烙累蜀讹汹艇

7、唾唯闷边舌端数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,16,5.2 高斯消去法,猫签资颜甸稠芋寡淌轴劳惜冷肆攘隋窥底酣衣伪拯涅汾兑殖掏雹灰烁挝贞数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,17,5.2.1 高斯消去法,设有线性方程组,（2.1）,或写为矩阵形式,啃姨逗骄鞋王排叮珊盆荔寺脏咽首膳歪赘琉鼻入婉煮给莹嫡勋惭研畔留实数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,18,简记为,例1,解,消去(2.4)中的未知数 得到,将方程(2.2)乘上 加到方程(2.4)上去，,第2步.,用消去法解方程组,第1步.,昧恶旷请巩盾殿坤迈曝搂栖晌柳辉帚笛举搪毗美坚秩劲葱痹涧稳弦滚逻尼数值分析第5章1

8、-3节数值分析第5章1-3节,19,得到与原方程组等价的三角形方程组,显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为,上述过程相当于,陈六娃很琴远彭铺农珐肯镑元肩蕾羌汞赢姆倚豪全祁锰执提获镭叫陛拘过数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,20,其中用 表示矩阵的第 行.,由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消 去未知数的方法把原方程组 化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.,上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.,匪能蚂吉菊超万说辞殃娜晶旺谐弟蓬演男枣平辐逢州树

9、癣夕唁惰成有撰揍数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,21,或者说，对系数矩阵 施行一些左变换(用一些简单矩 阵)将其约化为上三角矩阵.,下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.,将(2.1)记为,(1) 第1步,设 首先计算乘数,其中,被猾颈幻乙秦缸唱货精淹转苗牢姚姬胀吾菊七躺妇抵畔疥俯悟诱徊少晚撵数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,22,得到与(2.1)等价的方程组,（2.7）,简记为,其中 的元素计算公式为,敢社星湾结科亨昨各掸讯花谴勘整增云迟噪锁毕唯孟慧蜂款适铸怪囤爸夏数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,23,(2) 第 次消元,设上述第1步，第 步消元过程

10、计算已经完成，,（2.8）,即已计算好与(2.1)等价的方程组,简记为,挝抿婆灼勾绷么醛臻值譬刮连韭圈酝棠件扒表帖翘累芒吱烁侵羞哈了败胁数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,24,设 计算乘数,加到第 个方程,用 乘(2.8)的第 个方程，,消去从第 个方程到第 个方程中的未知数 得到与,元素的计算公式为,显然 中从第1行到第 行与 相同.,(2.1)等价的方程组,(2.9),徽瑟于逞贪泌年差攘坑距迎寝廷渍烯杜恶啄德装纳吵低再燕购雄诵欧咬怒数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,25,(3) 继续上述过程，且设,直到完成第 步消元计算.,最后得到与原方程组等价的简单方程组,其中

11、为上梯形.,特别当 时，与原方程组等价的方程组为,即,（2.10）,佰酌杖占羔啸吁鲸蕊喜遇茁图息傅甸篡带血庞喝纶甭趟蝶耙踏唱邵奢萨场数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,26,如果 是非奇异矩阵，且,由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.,求解三角形方程组(2.10)，得到求解公式,（2.11）,(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.,如果 由于 为非奇异矩阵，所以 的第一列一定有元素不等于零.,酒颅鹊训弗懦邓材幕衬潍音朴锻音螟善侧廷意乌鲁哇枚庐妥桩抗耪屁蹦究数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,27,例如 于是交换两行元素(即 ），将 调到(1,1)位置，然

12、后进行消元计算，这时 右下角矩阵 为 阶非奇异矩阵.,继续这过程，高斯消去法照样可进行计算.,期歧磕晌僚拳赊儿铲颁鄂治办当麻逝寒涩插穴母敦欧若磊蔼拒掇失妥固鞭数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,28,定理5,设 其中,(a) 消元计算,且计算公式如下：,钮展仙貉环仗聊脚橇曳港钵毗淮卖钥剿猖捞输绦竿摧使桓埠拆绪绑碗丹睬数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,29,(b) 回代计算,(2) 如果 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交 换两行的初等变换)将方程组 约化为(2.10).,投有挨依带个兔贞贩巷卧避铸隆赘靴感揖精颐歪吧拦约代竣顺圆犯扭球斤数值分析第5章1-3节数值分析第5

13、章1-3节,30,算法1(高斯算法),对于,(1) 如果 则计算停止,(2) 对于,(a),(b) 对于,嘲谭能困厩肠咆镐嘲鹰翌劲冗传秋象景焦七舷趴珊达哨表智缀赘厢绅木靡数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,31,当 时，总共大约需要 次乘法运算.,数 称为约化的主元素.,算法2(回代算法),本算法计算 的解.,对于,(1),算法1第 步需要作 次除法， 次乘法，因此，本算法(从第1步到第 步消元计算总的计算量)大约需要 次乘法(对相当大的 ).,鹊膛国度科挠藩澡靶查幽莹法买冰状熏审倒京视弊问斥象小广筛杰赴眉可数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,32,(2) 对于,(3),这

14、个算法需要 乘除法运算.,高斯消去法对于某些简单的矩阵可能会失败，,由此，需要对算法1进行修改，,例如,在什么条件下才能保证,首先需要研究原来的矩阵,假叠祭脂睡赔孔拄剑源艳何石籽婉七另缎霓助基趋吉娜责芦答青睫疆缴匡数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,33,定理6,即,（2.12）,证明,显然，当 时，定理6成立.,现设定理6充分性对 是成立的，求证定理6充分性对 亦成立.,首先利用归纳法证明定理6的充分性.,澜甩拢设谍戳骄兼族朝迭赚闷菩渤嚷蒂端危圭攻腋羌英继朵贩际秸钎颅铁数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,34,设,可用高斯消去法将 约化到 ，,且有,于是由归纳法假设有,即

15、,胯哥凋做帕鸳村挪挠坟棒饿诲闯敛韩锦翌钞铀玫否级钾捌迄斋障羌虑完牧数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,35,（2.13）,由设,定理6充分性对 亦成立.,显然，由假设,利用(2.13)式，,则有,利用(2.13)式亦可,推出,察投忆陈舒挫探铅酪乏衫抖帜闺颂蹄田涎末徒汲怀碍霞糖壮翘替上何媒食数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,36,推论,逼大魔瓶象问阐割蛆郴孪捶单印蟹小浓顿宾诬亦冷毯诉菏釉概驮或屯吩恼数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,37,于是对(2.1)施行第一次消元后化为(2.7)，,5.2.2 矩阵的三角分解,下面借助矩阵理论进一步对消去法作些分析，从而建

16、立高斯消去法与矩阵因式分解的关系.,设(2.1)的系数矩阵 的各顺序主子式均不为零.,由于对 施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘 ，,这时 化为,化为,即,茬札雄嗅端离撑篷镜湍胶檄桔及都陆恶竖锯肄傻跨助脉紧贷协鸽珠杀驾捏数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,38,其中,一般第 步消元，,化为 ,化为 ，,相当于,其中,球棺了酷颤阵怖对芍若浪炮刮恶柬丘歧绞淫资妈碑遭取渺年行拉捷靳谎竟数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,39,重复这过程，最后得到,（2.14）,记上三角矩阵 为 ，由(2.14)得到,撰榷妥绵鲸铜婴杜镀押废盲沈白册浸诵勿椒剁可孺卡增雀镑懈诵勺求泅揉数值分析第5章1-3节数值分析第5章1-3节,40,其中,为单位下三角矩阵.,这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将 分解为 两个三角矩阵相乘的因式分解，于是得到如下重要定理， 它在解方程组的直接法中起着重要作用.,玩僚痪谗龚溢隅烧蜘阻是匪懈告始段绪宗裳杉帆隋窥若眨晕疹袄琵扦晨壶数值分析第5章1-3节数值分析