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1、1 初等数学研究习题解答 第一章数系 1.1 集合论初步自然数的基数理论 习题 1.1 1证明集合0|xx与实数集对等。 证明：取对应关系为lnyx，这个函数构成0( ,)与(,)的一一对应，所以集 合0|x x与实数集对等。 2证明()()()ABCABAC 证明：()xABCxA或xBC， xA或（xB且xC） ，那 么有xA或xB同时还有xA或xC，即xAB同时还有xAC，所以 ()()()()()xABACABCABAC 反过来：()()xABACxAB且xAC，对于前者有 xA或者 xB；对于后者有xA或者xC，综合起来考虑，xB与xC前后都有，所以应 是“x B且xC”即“xBC”
2、 ，再结合xA的地位“或者xA”以及前后关系 有“xA或xBC”即()xABC， 所以()()()()xABCABCABAC 所以 ()()()ABCABAC 。 3 已知集合A有 10 个元素，,B C都是A的子集，B有 5 个元素，C有 4 个元素，BC 有 2 个元素，那么()BAC有几个元素？ 解：集合()BAC如图 1 所示：由于 452(), (), ()r Cr Br BC， 所以32(), ()r BCr CB， 从而1028()r BAC， 即()BAC有 8 个元素 4写出集合 , , ,a b c d的全部非空真子集。 图1 C B A - - 2 , , , , , ,
3、 , , , , , , , , , , , abcda ba ca db cb dc d a b ca b da c db c d 5证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。 证明：设,A B C是三个有限集合，并且BC，记(),(),()ar Abr Bcr C 首先：由于BC，所以ABAC，所以 ()()()r ABACr ABr ACabac 其次：对于( ,)()( ,)|,a xABCa xaA xBC，由于xBC， 那么若xB，于是( ,)a xAB； 若xC，于是( ,)a xAC， 所以总有( ,)( ,) |,(,) |,a xa xaA xBa xaA xCABAC
4、 即()()()ABCABACr ABCr ABAC ()a bcabac 反过来：( ,)a xABAC，那么( ,)a xAB或者( ,)a xAC 于是有,aAxB或者xC，即,aAxBC，所以( ,)()a xABC 即()()()ABCABACr ABCr ABAC ()a bcabac 所以()a bcabac 6在基数理论定义的乘法下，证明1 aa。 证明：设 B，则1()r B，A是任意有限集，并且()r Aa。 作集合：( , )|BAaaA，显然1()r BAa 作对应: ( , )faa，而这个对应是从BA到A的一一对应，所以BA与A对等， 从而有：()()r BAr A
5、，即1 aa。 1.2 自然数的序数理论 习题 1.2 - - 3 1用定义计算54。 解：5156 52515167;(); 53525278()；54535389()。 2用定义计算3 4 解：3 23 13 13336 33323 23639 34333 339312 3在序数理论下，证明自然数的离散性，即不存在自然数b，使b介于a与a之间。 证明：假若不然，由于 aa ，则必然是 1abaa ， 由于ab，所以存在c使1acba，由于1c，所以aca，即ba，矛 盾（此前有ba） 4用第一归纳法证明4151 n n是 9 的倍数。 证明：对于 1n ，有4 15 1182 9，结论成立
6、； 设41519 k km成立，那么 1 111 1121 415114 4151441513 41593 45 93 3 15 93 3339 99 3399 ()() () () () kkkkk k kkk kk kkk kk kkkm m mCC mCCml 所以结论在1nk也成立。 5用第二归纳法证明数列 11515 225 nn n a 的每一项都是自然数。 证明：由于 1 115151 51 2255 a ，即 1 a是自然数； 设 12 , k a aa都是自然数，那么 11 1 1151511515 2222 55 kkkk kk aa - - 4 11 11 1212 11
7、 1151511515 11 2222 55 1153511535 2222 55 1151511515 2222 55 11515 225 kk kk kk kk 1k a 从而 1k a 也是自然数，故“ n a的每一项都是自然数”成立。 1.3 复数的三角形式与指数形式 习题 1.3 1利用复数推导三倍角公式 解：设cossinzi，那么 3 33cossinzi， 另一方面，将 33 (cossin)zi展开： 333223 3223 33 33 313 1 4334 (cossin)coscossincossinsin coscos (cos) (sin)sinsin coscos( sinsin) ziii i i 比较实部和虚部，即得： 33 343334coscoscos , sinsinsin 2设 M 是单位圆周 22 1xy上的动点， 点 N 与定点 A(2, 0)和点 M 构成一个等腰直 角三角形斜边的端点，并且MNAM成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的 轨迹。 解：如图1-1，设 11 ( ,),(,)N x yMxy对应的复数记为 11 ,ONxyi OMxy i 由于MNAM成逆时针方向，将向量AN绕A点逆时针旋转300后必与向 量AM重合，所以有 6060(cossin)ANiAM 图 1-1 N A M -
