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1、单元测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分1“a0”是“复数zabi(a，bR)为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.答案：B2复数2abi(a，bR，i是虚数单位)，则a2b2的值为()A0B1C2 D1解析：2iabi.所以a0，b1，所以a2b2011.答案：D3已知复数z134i，z2ti，且z1是实数，则实数t等于()A. B.C D解析：z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i，因为z1是
2、实数，所以4t30，所以t.答案：A4如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i，2i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A3i B3iC13i D13i解析：12i2i13i，所以C点对应的复数为13i.答案：D5设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A实轴上 B虚轴上C直线yx(x0)上 D以上三项都不对解析：设zxyi(x，yR)，则z2(xyi)2x2y22xyi.z2为纯虚数，yx(x0)答案：C6已知复数zxyi，满足|z1|x，那么z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：zxyi(x，yR，x)，满
3、足|z1|x，(x1)2y2x2，故y22x1.答案：D7当z时，z100z501的值等于()A1 B1Ci Di解析：z22i.z100z501(i)50(i)251i50i251i.答案：D8复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点，按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为()A1 B1Ci Di解析：设zabi，B点对应的复数为z1，则z1(abi)i1i(b1)(a1)i，点B与点A恰好关于坐标原点对称，z1.答案：B9如果复数z满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()A1 B.C2 D.解析：|z
4、i|zi|2，则点Z在以(0,1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点Z到点(1，1)的距离由图知最小值为1.答案：A10设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是()A若zz0，则zzB|z1z2|Czz0z1z20D|z|1|2解析：A错，反例：z12i，z22i；B错，反例：z12i，z22i；C错，反例：z11，z2i；D正确，z1abi，则|z|a2b2，|2a2b2，故|z|2.答案：D第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11在复平面内，已知复数zxi所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是_解析：z对应的点Z都在单位圆内，|OZ|1
5、，即 1.x21，x2，x.答案：x12定义运算adbc，则对复数zxyi(x，yR)符合条件32i的复数z等于_解析：由定义运算，得2ziz32i，则zi.答案：i13设x，y为实数，且，则xy_.解析：x(1i)y(12i)(13i)解得所以xy4.答案：414已知复数z032i，复数z满足zz03zz0，则复数z_.解析：z1i.答案：1i三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)已知复数z1满足(z12)i1i，复数z2的虚部为2，且z1z2为实数，求z2.解：由(z12)i1i得，z12(1i)(i)1i，z13i.(6分)依题意可设z2x2i(xR)，则z1z2(3i)(
6、x2i)3x2(6x)i为实数，x6，z262i.(12分)16(12分)设z1是方程x26x250的一个根(1)求z1；(2)设z2ai(其中i为虚数单位，aR)，若z2的共轭复数满足|z|125，求z.解：(1)因为6242564，所以z134i或z134i.(4分)(2)由|(34i)3(ai)|625，得125125，a2.(8分)当a2时，z(2i)234i；(10分)当a2时，z(2i)234i.(12分)17(12分)设wi，(1)求证：1ww20；(2)计算：(1ww2)(1ww2)解：(1)证明：wi，w2(i)22()(i)(i)2ii.1ww21ii0.(6分)(2)由1
7、ww20知，(w1)(1ww2)0，w310，w31.(1ww2)(1ww2)(2w2)(2w)4w34.(12分)18(14分)设z1，z2C，(1)求证：|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2；(2)设|z1|3，|z2|5，|z1z2|6，求|z1z2|.解：(1)证明：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2|2|z1z2|2|(ac)(bd)i|2|(ac)(bd)i|2(ac)2(bd)2(ac)2(bd)22a22c22b22d22(a2b2)2(c2d2)，又2|z1|22|z2|22(a2b2)2(c2d2)，故|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.(7分)(2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2，62|z1z2|2232252.|z1z2|2683632.|z1z2|4.(14分)
