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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第第四四章章第章第章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 Figure Characteristic of Random Variable 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 第节第节数学期望数学期望第第一一节节数学期望数学期望 第二节第二节方差方差第二节第二节方差方差 第三节第三节协方差与相关系数协方差与相关系数 矩矩第三节第三节协方差与相关系数协方差与相关系数 矩矩 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 第第一一节节第节第节 数学期望数学期望数学期望数学期望 Mathematical ExpectationMathematical
2、Expectation 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 某种彩票以份为个开奖组在这Example 4.1 某种彩票，以10000份为一个开奖组，在这 10000份中，有1个一等奖，10个二等奖，100个三等奖 等奖奖金等奖奖金等奖奖金，一等奖奖金5000元，二等奖奖金200元，三等奖奖金 10元，某人买了1份这种彩票，问他平均能得到多少奖 金？ Solution 设是他能得到的奖金数，则根据题意，可列X 出下列表格： 一等奖二等奖三等奖不中奖等奖二等奖三等奖不中奖 奖金数5000200100 份中的份数份中的份数 110
3、1009889 X 10000份中的份数份中的份数 1101009889 概率概率0.00010.0010.010.9889 i xXP 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 先求出10000份彩票总共可得到多少奖金将奖金总先求出10000份彩票总共可得到多少奖金，将奖金总 数除以10000，就是平均每份彩票可得到的奖金数，即 10000 98890100101020015000 的平均值X 上式也可以写成下列形式： 10000 1101009889 5000200100 10000100001000010000 X 的平均值 0000000000000000 5000 0.0001
4、 200 0.001 10 0.01 0 0.9889 05 02 01 0 08 0.5 0.2 0.1 0 0.8. 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 定义1 设离散型随机变量的分布律为 ii pxXP), 2 , 1(i 定义设离散型随机变量的分布律为 若级数绝对收敛，则称为随机变量的数 ii ii px ii px X若级数绝对收敛，则称为随机变量的数 学期望，记为，即，若发散，则 1i ii p 1i ii p X )(XE )( iip xXE ii px 学期望，记为，即，若发散，则 称的数学期望不存在。 简单地说，离散型随机变量的数学期望等于其各个取值 )( 1
5、)( i iip 1i X 简单地说离散型随机变量的数学期望等于其各个取值 与对应概率的乘积之和。 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4 2 甲、乙两射手的稳定成绩分别为:Example 4.2 甲、乙两射手的稳定成绩分别为: （甲中环数）甲中环数）8910（乙中环数）8910XY 试比较甲乙两射手谁优谁劣？ 概率0.30.10.6概率 0.20.40.4 试比较甲、乙两射手谁优谁劣？ Solution 甲的平均环数为： 39 6 10 1 9 3 8)(XE 乙的平均环数为： 3 . 9 10 10 10 9 10 8)(XE 乙的平均环数为： 2 . 9 10
6、 4 10 10 4 9 10 2 8)(YE 故从平均射击的环数看，甲的技术优于乙。 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4.3 设，求 ),(pnBX)(XE Solution 由数学期望的定义有： n inii n n inii n qpCnpqpiCXE 11 1 )( n knkk n qpCnp 1 1 i n i n qppqp 0 1 0 )( k n qpCnp 0 1 npqpnp)( 二项分布的数学期望为的意思是：具有概率的事件 在次独立重复试验中平均出现次。 npp Annp Example 4.4 设，求 Solution 由数学期望的定义
7、有： )(PX )(XE 01 1 )!1(! )( ii ii i ee i iXE 泊松分布中的参数恰好为的理论均值。 ee X 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4.5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元 压注在1到6的某个数字上然后掷三颗骰子若所压的压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的 数字出现 次（ =1，2，3），则下注者赢 元，否则没 有1元本金试问这样的游戏规则对下注者是否公平 iii 有1元本金。试问这样的游戏规则对下注者是否公平。 Solution 下注者的每1元注金带来的赢利是一个随机变 量，其可能值是-1，1，2，3。X量
8、，其可能值是 1，1，2，3。 按题意， 的分布律为： X X -1123 125/21675/21615/2161/216 X P 于是 125/216 75/216 15/216 1/216 P 1711575125 于是 因此可大致地认为每平均玩216次下注者必将输 216 17 216 1 3 216 15 2 216 75 1 216 125 ) 1()(XE 因此，可大致地认为：每平均玩216次，下注者必将输 17元。故这一游戏规则对下注者是不公平的。 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 定义设连续型随机变量的概
9、率密度为若积分 )( 定义2 设连续型随机变量的概率密度为，若积分 绝对收敛，则称积分为随机变量的 数学期望记为即 X)(x dxxx)( dxxx)( X 数学期望，记为，即 若积分发散则称随机变量的数学期望不 )(XE )(XE dxxx)( 若积分发散，则称随机变量的数学期望不 存在。 简单地说连续型随机变量的数学期望等于它的取值与 dxxx)(X 简单地说，连续型随机变量的数学期望等于它的取值与 概率密度乘积的广义积分。 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4.6 设，求。 ),( 2 NX)(XE x 2 )( p设，求 Solution 由定义有： 令，
10、即， )()( dxexdxxxXE x 2 2 )( 2 1 )()( t x tx令，即， 则，于是： dtdx 22 1 )( 22 22 dte t dteXE tt 正态分布的参数正好是它的数学期望。 01 ),( 2 N 正态分布的参数正好是它的数学期望。 Example 4.7 设随机变量的概率密度为： )( X 01 ,1 )( xx 求。 其他 , 0 10 ,1)(xxx )(XE 求 Solution 由定义有： )( 10 0)1 ()1 ( )()( dxxxdxxx dxxxXE 西安理工大学 01 0)1 ()1 ( dxxxdxxx 概率论与数理统计概率论与数理
11、统计 Example 4.8 有两个相互独立工作的电子装置，它们的 寿命服从同一指数分布，其概率密度为：)2 , 1(kXk 0 1 xe x ，若将这两个电子装置串联联 0 , 0 0, )( x xe x ) 0( 接组成整机，求整机寿命（以小时计） 的数学期望。 Solution 的分布函数为： N )2 , 1(kX k 0,1 )( xe xF x 于是，的分布函数为： 0 ,0 )( x ),min( 21 XXN 0,1 )(11)( 2 2 xe xFxF x N 因而，的概率密度为： 0 ,0 x N 0, 2 )( 2 xe x x N 故的数学期望为： 0 ,0 )( x
12、 x N N 2 2 2 )()( dxe x dxxxNE x N 西安理工大学 0 2 )()( N 概率论与数理统计概率论与数理统计 三三随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望三三、随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望 定理1设是随机变量的函数：（ 是连续函数） 若离散随变它的布律为 YX )(XgY g （1）若是离散型随机变量，它的分布律为： ), 2 , 1(ipxXP ii X 则当级数绝对收敛时，有： ),(p ii 1 )( i ii pxg 若是连续型随机变量它的概率密度为 1i 1 )()()( i ii pxgXgEYE )( （2）若是连续型随机变量，它
13、的概率密度为： 则当积分绝对收敛时有 X )(x d )()( 则当积分绝对收敛时，有： dxxxg)()( dxxxgXgEYE)()()()( 西安理工大学 gg)()()()( 概率论与数理统计概率论与数理统计 定理2 设是随机变量的函数其中ZYX)( YXgZ定理2 设是随机变量， 的函数：，其中 是二元连续函数。 （1）若为二维离散型随机变量其分布律为 Z )(YX YX),( YXgZ ),( yxg （1）若为二维离散型随机变量，其分布律为： ), 2 , 1( ,ipyYxXP ijii ),(YX 则当绝收敛时，有： 11 ),( ij ijji pyxg （2）若为二维连续
14、型随机变量概率密度为 )( yx )(YX 11 ),(),()( ij ijji pyxgYXgEZE （2）若为二维连续型随机变量，概率密度为 则当绝对收敛时有 dxdyyxyxg)()( ),( yx ),(YX 则当绝对收敛时，有： dxdyyxyxgYXgEZE),(),(),()( dxdyyxyxg),(),( 西安理工大学 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4.9 设离散型随机变量的分布律为：X -2-101 0.1 0.30.4 0.2 X P 求的数学期望。 由数的数学期望的定义式有 2 XY P Solution 由函数的数学期望的定义式，有： 设风速为连
15、续型随机变量且在区间 22222 ( )()( 2)0.1( 1)0.300.410.20.9E YE X Example 4.10 设风速为连续型随机变量，且在区间 上服从均匀分布，又设飞机机翼受到的压力 是速的数求 V )0(,0aa 2 是风速的函数：，求。 Solution 按题意，的概率密度为： 于是有 WV) 0( 2 kkVW)(WE V 0 , 1 )( av av V 于是有： 其他 ,0 )(av V a V kadvkv dvvkvWE 22 2 11 )()( 西安理工大学 kadv a kv 0 3 概率论与数理统计概率论与数理统计 Example 4.11 设二维随机变量在半园域：),(YX 上服从均匀分布，求，。 0, 1| ),( 22 yyxyxG )( 2Y XE )(XE )(YE 01 2 22 Solution 按题意，的概率密度为： 于是由定义有： ),(YX 其他 , 0 0, 1 , 2 ),( 22 yyx yx 于是由定义有： x dyxdxdxdyxXE 1
