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1、1.预备知识一维基本形指点列和线束，一维基本形之间的关系有两种；透视对应和射影对应。1.1一维基本形的透视对应和射影对应1.1.1一维基本形的透视对应定义1：如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列，点叫透视中心，记以图(1)图(2) 如图（1），（2）对偶地，有 定义2：如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束透视线束，点列的底叫做透视轴，记以 如图（3），（4）图(3)图(4) 由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。两个成透视对应的线束，其对应之交点共线。1.1.2一维基本形的射影对应 定义3：（Poncelet定义）设有两个一维基本形（点列或线束）与
2、，如果存在个一维基本形，使得 则把与之间的对应叫做射影对应，记以，这次透视对应形成透视链，既有限个透视对应乘积是射影对应， 如图（5） 图(5) 由此可以得到射影对应有以下性质： （1）保持一一对应关系； （2）； （3）如果，则； （4）如果，则； （5）如果，则，但反之不成立。 1.2透视对应和射影对应之间的关系 透视对应一定是射影对应，但射影对应不一定透视对应，下面讨论射影对应成透视对应的条件。 因如果两个点列与间有射影对应则它们的点的连线不一定交于一点。 定理1：两个点列间的射影对应是透视对应的重要条件是它们底的交点自对应。 证明：必要性：设点列与间的射影对应是透视对应，为透视中心，为
3、两底与的交点，如图（6），因为直线与两底交于同一点，所以点是自对应。 充分性：设点列与间的射影对应为，。与的交点作为的点与它在上的对应点重合，即在上任取两点，设其对应点为，令与交于点，与交于。 设对应是以中心的点列到的透视对应，于是对应也是射影对应。 但在之下，三点，于是与有三对对应点相同，由定理（若已知两个点列的三对对应点，则可以唯一确定一个射影对应，即射影对应被其三对对应点所唯一确定）知，即与重合。因此是以透视中心的透视对应。 对偶地有，图(6)图(7) 定理2：两个线束间的射影对应是透视对应的重要条件是：它们顶点的连线自对应，如图（7） 2.二阶曲线与二级曲线的定义 2.1二阶曲线与二级
4、曲线的代数定义定义1：（二阶曲线的代数定义） 在射影平面上，齐次坐标满足下列三元二次方程；，即 ， （其中为实数且至少一个不为零） 的点的集合称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹。 矩阵形式为 其中用表示，叫系数矩阵，或表示系数行列式。 定义2：（二级曲线的代数定义）在射影平面上齐次坐标满足下列三元二次方程；，即 （其中为实数且至少有一个不为零）矩阵形式为 其中用表示，系数矩阵，或表示系数行列式。 为了给出二阶曲线与二级曲线的几何定义先证明下面的两个定理。 定理1：两个不同中心的射影对应线束对应线的交点构成一条二阶曲线。 定理：两个不同底的射影对应点列对应点的连线构成一条二级曲线。以上定理是互相对
5、偶的，我们只证明定理1。 证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为； 由于它们是射影对应， 所以满足： 从，中消去，得 即 这里都是关于的一次齐次式，所以式表示一条二阶曲线。由于的交点坐标和的交点坐标都是满足。所以形成此二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。定理1的逆定理也成立，即“任何一条二阶曲线都可以看成是两个成射影对应的线束对应直线的交点所构成的” 。定理2：设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的那么以这曲线上任两点为中心向曲线上的点投射直线，则可得到两个成射影对应的线束。定理：设有某二级曲线，它是由两个射影点列的对应点的连线构成的，则在曲
6、线上任意两定直线与曲线上的直线相交，就得到以这个定直线为底而成射影对应的两个点列。我们只证明定理2。证明：设二阶曲线是有以和为中心的射影线束和所生成的， 在该曲线上任取定二点，设为曲线上的动点我们证明 如图（8），设与，之交点为，与，之交点为 ，于是，所以图(8)所以，。由于这两个点列底的交点，故有，所以对应点的连线共点，即，共点于。为一定点，这说明当在曲线上变动时以为底的点列与为底的点列对应是透视对应，对应点的连线通过一个定点所以有 即 例1：求两个成射影对应线束与所构成的二阶曲线的方程。解：因为，所以，两个线束可写成； 即 消去得 所以所求的二阶曲线方程为。2.2二阶曲线与二级曲线的几何定
7、义定义3：（二阶曲线的几何定义）在射影平面上两个射影线束对应直线的交点集合叫做二阶曲线。如图（9）定义4：（二级曲线的几何定义）在射影平面上两个射影点列对应点连线的集合叫做二级曲线。如图（10）图(9)图(10)推论1：在射影平面内五个点，若其中任意三点不共线，则这五个点可确定唯一一条二阶曲线。推论：在射影平面上五条直线，若其中任意三个直线不共点，则这五条直线唯一确定一条二级曲线。我们只证明推论1。对偶地推论也成立。证明：设已知五点为，以其中任意两点，例如和为心，分别连线，与，由一维射影几何基本定理，三对对应线与，与，与决定了唯一的一条二阶曲线通过已知的五点。如图（11）和（12）。图(11)
8、图(12)推论2：二阶曲线上的四定点与其上任意点所连的四条直线，其交比为常数。 如图（13）推论：二级曲线的四条定直线与其上任意直线相交所得的四点，其交比为常数。如图（14） 我们只证明推论2。证明：设二阶曲线上的四定点，表示，并和表示曲线上任意点的两个位置。取和为两个射影线束的中心，来产生该二阶曲线，则两线束 因此， 即四条直线所成的交比不因第五点的位置而变化，所以是一个常数。 下面的图很容易看出上面的推论2和推论的几何意义。二阶曲线是点的轨迹，二级曲线是直线的包络。图(14)图(13)图（15）例2：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切一条二次曲线。 证明：如图（15），三
9、点形和内接于二次曲线，设 ，则所以，即由二级曲线的几何定义则知，这两个点列对应点的连线，连同这两个点列的底，属于同一条二级曲线，亦即三点形和三点形的边外切一条二次曲线。例3：求点所决定的方程。 解：设所求的二阶曲线为； 将五点的坐标分别代入，得：解方程组得：，所求的二阶曲线的方程为 例4：求由五条直线决定的二级曲线的方程。解：设所求的二级曲线的方程为； 五条直线的坐标满足上面的方程，得； 解方程组得；。3.二阶曲线与二级曲线退化或非退化情况3.1二阶曲线与二级曲线退化或非退化的代数解释3.1.1二阶曲线与二级曲线退化的代数解释设二阶曲线的方程为： ，系数矩阵为为系数行列式。那么二阶曲线退化的重
10、要条件为设二级曲线的方程为，系数矩阵为为系数行列式。那么二级曲线退化的重要条件为3.1.2二阶曲线与二级曲线非退化的代数解释若二阶曲线，是系数矩阵。那么，二阶曲线非退化若二级曲线，是系数矩阵。那么，二级曲线非退化3.2二阶曲线与二级曲线退化或非退化的几何解释3.2.1二阶曲线与二级曲线退化的几何解释在特殊的情况下，如果两个线束和不但是射影的，而且是透视的即用表示线束和的透视轴这时，点列是已知两个线束对应直线交点的集合，因此点列是二阶曲线的一部分。 这时二阶曲线退化为两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中心的连线，如图（16）中的直线与。图(16)图(17) 在特殊的情况下，即，时二级曲线退化
11、为两个点，其中一个是已知两个点列的交点，另一个是其它对应点连线所交的哪个点。这时这二级曲线叫做退化的二级曲线，如图（17）中的两点与。 3.2.2二阶曲线与二级曲线非退化的几何解释若两个不同心的射影对应线束是非透视的，那么二阶曲线是非退化的。若两个不共底的射影对应点列是非透视的，那么二级曲线是非退化的。4.二阶（二级）曲线与直线（点）的相关位置4.1二阶曲线与直线的相关位置 设两个点，的坐标分别为，则直线上任意点的坐标可以写为，其中 以下先求直线与二阶曲线 的交点。将代入上式得 整理后得： 若点不在二阶曲线上，则式是关于的二次方程，为了书写简便，我们引入以下记号： ， ， ， ， 若：当时，直线与二阶曲线相交于两个实点，称为二阶曲线的割线。 当时，直线与二阶曲线相离。 当时，直线与二阶曲线的两交点重合，称为二阶曲线的切线。过的切线方程为 即： 点不在二阶曲线上时，过点的切线方程。它表示两条切线，当二阶曲线上时二者重合为。4.2二级曲线与点的相关位置 设两个直线，则两直线的交点的线坐标为 。 以下求交点与二级曲线的位置关系， 将代入上式 若不属于二级曲线，则式是关于的二次方程，则 为了书写简便，我们先引入以下记号： ， ， ， ，
