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1、第三章 时域分析法,测控技术与仪器系 黄安贻 027-15927074493 ,方法的实质,直接解系统的运动微分方程式,时间域的 微分方程,拉氏变换,复数域的 代数方程,复域解,时域解,拉氏反变换,瞬态解 自由解 瞬态响应,稳态解 强迫解 稳态响应,控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。,3.1 控制系统的时间响应,控制工程主要研究系统的零状态响应。,一 零状态响应和零输入响应,控制系统的时间响应,零状态响应,零输入响应,仅有激励而初始 状态为零的响应,仅有初始状态而激 励为零时的响应,若将系统的初始状态看成
2、系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。, 系统的零状态响应,等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。,零状态响应为：,设系统输入为：,设系统传递函数为：,若函数中不含有多重极点，可展成部分分式:,取拉氏反变换，得到零状态响应:,零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s）
3、 的极点共同确定。, 瞬态响应和稳态响应,若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。,根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。,二 瞬态响应和稳态响应,系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。,当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。, 系统的时间响应,3.2 控制系统
4、时间响应的求解,一 基于传递函数的输出响应求解,实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程 求系统的零状态响应，可按下列步骤进行： (1) 设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换； (2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)； (3) 对y(s)进行部分分式展开； (4) 取反变换后，得到y(t)。,例1 已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为零。求系统的输出响应。,解：根据传递函数定义有：,阶跃输入的拉氏变换为：,部分分式展开：,基于传递函数的输出响应求解,待定系数的求法：用 乘上式两边，取spi的极限。,注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应
5、，是阶跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。 结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。,取反变换后，得到y(t),系统的零点对响应的影响,可见，尽管这两个系统的极点相同，但由于零点不同，它们的响应截然不同，系统1有超调。,例2,已知两个系统的传递函数,单位阶跃响应分别为,系统的零点影响系统响应曲线的形状。,结论,3.3 控制系统动态性能分析,控制系统必须具有良好的动态特性，从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制的核心工作。,为了衡量系统的动态性能，同时能对
6、不同系统的性能进行比较，通常采用单位阶跃函数作为测试信号。相应地，系统的响应称为单位阶跃响应。,任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成,任何复杂信号都是由简单信号叠加而成的傅立叶级数,线性稳定系统,响应,输入的微分(积分),响应的微分(积分),输入,一 低阶系统的阶跃响应分析,（一） 一阶系统的阶跃响应,举例,特点：有一个蓄能元件， 含时间常数， 具有惯性，输出滞后输入。,响应分析：,：时间常数,一阶系统的脉冲响应,因为单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以,记系统的单位脉冲响应函数为g（t），那么,一阶系统时域指标：,一阶系统对单位阶跃输入的响应达到稳态值的98%所对应的时间为系统的过渡过程时
7、间，为4T。,一阶系统对单位脉冲输入的响应达到初始值的2%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。,(二) 二阶系统的阶跃响应,二阶系统结构如图,二阶系统闭环传递函数为,二阶系统开环传递函数为,1. 二阶系统的传递函数,2. 二阶系统闭环极点的分布,根据系统阻尼比的值，二阶系统有：,由图可知,3. 二阶系统的响应曲线,系统在s左半平面上有一对共轭复数极点,欠阻尼系统,欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，衰减的快慢与系统极点的负实部有关，距虚轴越远，衰减越快；振荡频率取决于极点的虚部。阻尼比影响振荡的程度。,注意,极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率。,3. 二阶系统的响应曲线,无阻尼系统,有
8、一对共轭虚极点，响应是等幅振荡曲线,临界阻尼系统,过阻尼系统,两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联,有两个负实数极点,单调上升曲线,单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快。,随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s平面原点，其幅值越来越小，衰减越来越快；而另一个极点越来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比1时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。,4. 系统阶跃响应的特点分析,响应特性 与闭环极点 位置有关,响应的快慢与极点 距离虚轴的远近有关,阻尼比
9、 和无阻尼自 然频率n 确定了系统 动态特性,闭环极点具有负实部，时间趋向无穷大时， 瞬态响应趋于零，系统稳定。,极点距离虚轴近，对应的响应模 式衰减慢；距离越远衰减越快。,阻尼比确定了系统响应振荡特性响应平稳性。 越小，响应振荡越剧烈；越大，响应越缓慢呆滞。 无阻尼自然频率 n 确定了系统瞬态响应过程时间的 长短响应快速性。n越小，即时间常数T越大，响 应就慢，反之，n越大，即时间常数T越小，响应就 越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。,共轭复数极点：衰减正弦振荡曲线，系统稳定。 负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。 共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。,二 高阶系统的时域响
10、应,不失一般性，高阶系统的闭环传递函数可表示为：,当输入为阶跃函数时，输出可表示为：,通过拉氏反变换，输出响应可表示为：,闭环主导极点,当某极点（一对共轭极点）离虚轴很近，其余极点实部之模大于该极点（该对共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极点对应的响应持续时间很短，系统输出响应可以近似地视为该极点（该对共轭极点）所产生，其余极点对应的响应可以忽略不计。该极点（该对共轭极点）称为系统的闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点附近没有闭环零点时，可以消去其他远极点而实现对系统的降阶。须注意保持系统稳态增益不变。,2.偶极子,假如某极点 与某零点 很近，那么由该极点产生的响应的 将很小，因而该响应分量
11、在全部响应中所占的“比重”也必然很小，可以忽略不计。这对零点和极点称为偶极子。高阶系统降阶时可以同时取消偶极子，但须注意保持系统稳态增益不变。,3. 高阶系统降阶举例,已知系统的闭环传递函数为：,四个闭环极点为：,单个闭环零点为：,消去偶极子和远极点后得到：,三 用Matlab求系统响应,步骤1：启动Matlab,步骤2：设置工作文件路径,步骤3：打开文件编辑窗口，输入、编辑文件并存盘。,下图示例中传递函数为：,步骤4：运行文件，显示结果。,例2,降阶前后阶跃响应对比。,四 控制系统时域动态性能指标,最大超调量:相对稳定性,响应平稳性,阻尼程度,时间指标：响应的快速性。注意：响应的平稳性与快速
12、性是相互矛盾的。,时域动态性能指标概念与定义(1),线性控制系统典型的单位阶跃响应曲线,延迟时间td：系统阶跃响应达到稳态值50%所需的时间。,上升时间tr：系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态值的90%所需的时间。,时域动态性能指标概念与定义(2),峰值时间tp：响应曲线第一次到达最大峰值所需时间。 调节时间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在稳态值%允许误差范围内的最小时间。%取稳态值的2%或5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时间、过渡过程时间。,超调量：又称最大超调量，反映系统响应振荡的剧烈程度。,振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。,在上述指标中，调节时
13、间和超调量反映了对系统动态性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。,2.欠阻尼二阶系统时域性能指标计算,只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相应指标数值。 延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间都是系统无阻尼自然频率和阻尼比的函数，当阻尼比给定时，系统自然频率越高，这些时间指标越短，系统响应越快。 超调量仅仅是阻尼比的函数。 学生思考的问题：综合性能指标；高阶系统的降阶处理；速度反馈的作用；传递函数零点的影响；系统对输入信号的微分（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。, 自然响应模式的概念,若输出函数 中不含有多重极点，可展成部分
14、分式: 取拉氏反变换，得到零状态响应: 零状态响应的模式由系统G(s)和输入R(s)的极点共同确定。式中，等号右边的第一项和式是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G(s)的极点在S平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式，亦称为主振型、主模态；第二项和式是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励R(s)的极点在S平面的位置。但是待定系数Ck（留数）与G(s）和R(s）的零点、极点分布都有关系。, 自然响应模式的概念,单重实数极点p,单重共轭复数极点j,r重实数极点p,r重共轭复数 极点j, 自然响应模式的概念,当G(s)的极点与R(s)的零
15、点或G(s)的零点和R(s)的极点相消时，就会使G(s)的极点所对应的自然响应模式或R(s)的极点所对应的强迫响应模式消失。 若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，一般它相当于脉冲信号，可以证明零输入响应(自然响应)的模式由D(s)0的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。这里D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根或系统的固有频率。可以说零输入响应的模式由系统的固有频率确定。 如果G(s)没有零、极点相消，则特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的极点，则零输入响应的模式由G(s)的极点确定。但是，当G(s)有零极点相消时，系统的某些固有频率在G(s)的极点中将不再出现，这时零
16、输入响应的模式不再由G(s)的极点确定，但G(s)的零极点是否相消，并不影响零状态响应的模式。这一现象说明，系统传递函数G(s)一般只用于研究系统的零状态响应。,学习中应思考的问题,综合性能指标,高阶系统的降阶处理,速度反馈的作用,传递函数零点的影响,系统对输入信号的微分（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。,系统结构 及其结构参数,系统的 零点和极点,系统的 瞬态、稳态特性 即系统性能,瞬态 性能 指标,响应的快速性,响应的平稳性,无阻尼自然振动频率n,系统阻尼比,3.4 线性控制系统的稳定性分析,稳定性的概念,稳定性的物理意义,系统稳定的必要充分条件,稳定性判据,系统 稳定性 分析,一 稳定性概念与物理意义(1),系统稳定与不稳定举例,稳定 不稳定 c点稳定，a、e点不稳定,当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但它仍能恢复到原有平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常称为稳定性。稳定性是系统的一个动态属性。,稳定是系统能够工作的首要条件！,
