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1、5.7二次函数与一元二次方程,1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 = 。 方程根的情况是：当0 时方程 ； 当=0时，方程 ； 当0时，方程 。,b2-4ac,有两个不等实数根,有两个相等实数根,没有实数根,2.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是_, 开口方向_,顶点坐标是_.,X =- 1,向上,(-1,-5),3.已知抛物线与x轴交于A(-1,0)和B(1,0),并经 过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_.,y=-x2+1,4.抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_,与y轴的交点为_,方程2(x-2)(x-3)=0的根为 _ .,(2,0),(3,0)
2、,(0,12),x1=2,x2=3,5.抛物线y=-5x2+40 x与y=60的交点 , 方程-5x2+40 x=60的根为 .,(2,60),(6,60),x1=2,x2=6,(2,60),(6,60),完成下列题目并回答问题：,一.作函数y=x2+2x图像， 并计算y=0时x的取值.,求方程x2+2x=0的根.,y=x2+2x,与x轴交点（-2，0）和（0，0）,解：由x(x+2)=0,则该方程的根为： x1=-2，x2=0,合作与探究,二.作函数y=x2-2x+1图像，并计算y=0时x的取值.,求方程x2-2x+1=0的根.,y=x2-2x+1,与x轴交点（1，0）,解：由 (x-1)2
3、=0,则该方程的根为： x1=x2=1,三.作函数y=x2-2x+2图像， 并计算y=0时x的取值.,求方程x2-2x+2=0的根.,y=x2-2x+2,与x 轴无交点,解：因为=b2-4ac =4-8=-40,所以，该方程无根.,1. 二次函数图像与x轴交点的个数有哪些？,分析：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 1. 有两个交点、2. 有一个交点、3. 没有交点.,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有什么关系？,当二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=
4、0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根.,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,抛物线y=ax2+bx+c,抛物线y=ax2+bx+c（ a0 ）与x轴的交点个数与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：,1 . 0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根,与x轴有两个交点。,抛物线y=ax2+bx+c,2 . =0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数
5、根,与x轴有唯一公共点。,抛物线y=ax2+bx+c,3 . 0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根,与x轴没有公共点。,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac 0,1.抛物线y=x2+7x+6与y轴的交点坐标是 , 与x轴的交点坐标是 .,(-1,0),(-6,0),(0,6),2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .,5,0或5,课堂练习,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0) ，二次函数可表示为：y=a(x
6、-x1)(x-x2),例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值；,（2）若抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围；,（3）若抛物线与x轴没有交点，求m的取值范围；,例2：二次函数y=x2-2x-3的图象如下：,当x为何值时，y=0、y0?,(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；,例3：利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2+2x-10=0的根。,(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，,(3).确定方程x2+2x-1
7、0=0的解;,由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1-4.3,x22.3.,分别约为-4.3和2.3,方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (3)得出方程的解.,已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴有交点，求k的取值范围.,点拨：因为是二次函数，因而k0； 有交点，所以应为0,错解：由=（7）24k（7）=4928k0， 得k ,正确解法：此函数为二次函数，k0， 又与x轴有交点，=（7）24k（7）= 4928k0， 得k ，即k 且k0,练习,根据下列表格的对应值: 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( ) A 3 X 3
8、.23 B 3.23 X 3.24 C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26,C,(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；,利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.,(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2). 作直线y=3；,(1).原方程可
9、变形为x2+2x-13=0；,利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.,(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；,由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).,(4).确定方程x2+2x-10=3的解;,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1-4.7,x22.7.,(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；,解法2,2. 二次函数与一元二次方程的关系,y=ax2+bx+c,ax2+bx+c=k,y取定值k,方程的根,交点的横坐标,与直线y=k,1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定,3.用交点式求二次函数表达式y=a(x-x1)(x-x2),数形结合的思想,
