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1、第第 1 1 招：等和线定理招：等和线定理 【知识点】【知识点】 1.等和线定理： （1）平面向量共线定理 已知OAOBOC ,若1，则, ,A B C三点共线；反之亦然. （2）等和线 平面内一组基底,OA OB 及任一向量,OP OPOAOBR ，若点P 在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k(定值) ,反之也成立，我 们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线. 当等和线恰为直线AB时，1k ； 当等和线在O点和直线AB之间时， 0,1k ； 当直线AB在O点和等和线之间时， 1,k ； 当等和线过O点时，0k ； 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； 定值k的变化与等和线
2、到O点的距离成正比； 2.等和线定理应用背景: 在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法. 【典例剖析】【典例剖析】 例 1.如图，CDB与ABC的面积之比为 2，点P是区域ABCD内的任一点（含边界） ， 且ACABAP，则的取值范围是() A1 , 0B2 , 0C3 , 0D4 , 0 解析：过点P作GH/BC，交 ABAC, 的延长线于 HG, 则AHyAGxAP， 且 1 yx ，当点P位于D点时， HG, 分别位于 , BC ， CDB与ABC的面积之比为2，ABABACAC3,3， ACABAByACxAByACxAHyAGxOP33 所以， 3333,
3、3yxxy 当点P位于A点时，显然有： 0 ，所以，选C 答案：C. 总结：通过等和线定理绘制出一系列等和线，找出其中的临界值，即为系数和的最值. 【变式训练】 变式 1：如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2AD， 点P是BCD（含边界） 的动点， 设OBOCOP， 则的最大值为_ 变式 2：设长方形ABCD的边长分别是2, 1ABAD，点P是BCD（含边界）的动点 设ADyABxAP，则yx2的取值范围为() A2 , 1B3 , 1C3 , 2D2 , 0 【真题链接】 （2017 高考全国理科第 12 题 ）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以C 为
4、圆心且与BD相切的圆上，若ADABAP，则的最大值为() A3B22C5D2 【答案】 变式 1 :答案： 2 3 解析：当点P位于B点时，过点B作BCGH /，交 ODOC, 的延长线于 HG, 则AHyAGxOP，且 1 yx ， ODOCODyOCxOHyOGxOBOP 2 3 2 3 所以， 2 3 2 3 2 3 2 3 , 2 3 yxyx 故答案为 2 3 变式 2 : 答案：B 解析：AEyABxADyABxADyABxAP2 2 1 2 如图，连BE，当点P位于B点时，三点 PEB, 共线，且 ABAP ，即 1012yx ， 当点P位于C点时，AEyABxAEABACAP22， 即 3212yx 故 选B 高考真题链接： 答案：A
