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1、1 常微分方程习题解答常微分方程习题解答 东北 师范 大学微分方程教 研室东北 师范 大学微分方程教 研室 ( (第二版第二版 ) ) 高 等 教 育 出 版 社高 等 教 育 出 版 社 2 习 题习 题 1.21.21.21.2 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1)xdxydy= 解：积分，得 1 22 2 1 2 1 cxy+=即cyx= 22 (2)yy dx dy ln= 解：1, 0=yy为特解，当1, 0yy时，dx yy dy = ln ， 积分，得0ln,lnln 1 1 =+=cceeeycxy xxc ，即 x ce ey= (3) yx e dx dy = 解：
2、 变形得dxedye xy =积分，得cee xy = (4)0cottan=xdyydx 解：变形得 x y dx dy cot tan =，0=y为特解，当0y时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得 11 cossinln,coslnsinlncxycxy=+=, 即0,cossin 1 =ccexy c 2求下列方程满足给定初值条件的解： (1)1)0(),1(=yyy dx dy 解：1, 0=yy为特解，当1, 0yy时，dxdy yy = ) 1 1 1 (， 积分，得0, 1 , 1 ln 1 1 = += cceee y y cx y y
3、 xxc 将1)0(=y代入，得0=c，即1=y为所求的解。 (2)1)0(, 02) 1( 22 =+yxyyx 解：0, 1 2 2 2 = =y x xy dx dy 为特解，当0y时，dx x x y dy 1 2 22 =， 积分，得cx y +=1ln 1 2 3 将1)0(=y代入，得1=c，即 11ln 1 2 + = x y为所求的解。 (3)0)2(,33 2 =yyy 解：0=y为特解，当0y时，dx y dy = 3 2 3 ， 积分，得 3 3 1 )(,cxycxy+=+= 将0)2(=y代入，得2=c，即 3 )2( =xy和0=y均为所求的解。 (4)1) 1
4、(, 0)()( 2222 =+ydyyxxdxxyy 解：0, 0=yx为特解，当0, 0yx时，0 11 22 = + + dy y y dx x x ， 积分，得0,ln 1 ln 1 1111 1 1 =+ cceee y x cy y x x yxyxc 将1) 1 (=y代入，得 2 =ec，即 yx ee y x 11 2 =为所求的解。 4求解方程011 22 =+dyxydxyx 解：) 11(1),11(1=xyyx为特解， 当1, 1yx时，0 11 22 = + dy y y dx x x 积分，得)0(11 22 =+ccyx 6求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点
5、处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成 一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2). 解：设所求曲线为)(xyy=对其上任一点),(yx的切线方程： )(xXyyY=于 x 轴上的截距为 y y xa=由题意建立方程： 0 =xx y y x即2) 1 (,=y x y y 求得方程的通解为0,=cexy c 再由 c e=2得 c = ln2 ,得所求曲线为 4 为2=xy 7人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比 （1）如果 4 小时的细菌数为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ （2）如果在 3 小时时的细菌数为得 4 10个，在 5 小时时的细菌数为得
6、 4 104个，那么 在开始时有多少个细菌？ 解：设 t 时刻的细菌数为 q (t) , 由题意建立微分方程0=kkq dt dq 求解方程得 kt ceq=再设 t = 0 时，细菌数为 0 q,求得方程的解为 kt eqq 0 = （1）由 0 2)4(qq=即 0 4 0 2qeq k =得 4 2ln =k 0 4 2ln 12 0 12 0 8)12(qeqeqq k = （2）由条件 45 0 43 0 104)5(,10)3(= kk eqqeqq 比较两式得 2 4ln =k， 再由 4 0 2 4ln 3 0 3 0 108)3(=qeqeqq k 得 3 0 1025 .
7、1 =q 习 题习 题 1.31.31.31.3 1 解下列方程： (2)0)2( 22 =+dyxdxxyy 解：方程改写为 2 )()(2 x y x y dx dy = 令 x y u=，有 2 2uu dx du xu=+整理为) 1 , 0() 1 11 (= u x dx du uu 积分，得xc u u 1 ln 1 ln= 即 1 1 1 = xc xc u 代回变量，得通解0,)(=ycyxyx也是方程的解 (4) x y xyyxtan= 解：方程改写为 x y x y dx dy tan= 令 x y u=，有 u u u dx du x cos sin tan=即)0(
8、sincot=u x dx udu 积分，得cxu=sin 代回变量，得通解cx x y =sin 5 (5) x yx yxyyx + +=ln)( 解：方程改写为 x yx x y x y dx dy+ +=ln)1 ( 令 x y u=，有)1ln()1 (uu dx du x+= 当1, 0uu时 x dx uu du = +)1ln()1 ( 积分，得cxu=+ )1ln( 代回变量，得通解cx x y =+)1ln( (6)yyxyx+= 22 解：方程改写为 x y x y dx dy += 2 )(1 令 x y u=，有 2 1u dx du x=分离变量) 11( 1 2
9、, 对充分大的 1 x, 当 1 xx时,有|( )|f x0时 ,其 积 分 曲 线 如 图 (3)所 示 ;当y0时 , 其 积 分 曲 线 如 图 (6)所 示 ;当x0时 ,其 积 分 曲 线 如 图 (7)所 示 . 2.试 画 出 方 程 22 yx dx dy = 在xoy平 面 上 的 积 分 曲 线 的 大 致 图 像 . 解 ： 这 个 方 程 是 不 可 积 的 ,但 易 于 画 出 它 的 线 素 场 .在 同 一 以 原 点 为 对 称 中 心 的 双 曲 线 上 , 线 素 场 的 线 素 都 平 行 .其 斜 率 等 于 双 曲 线 实 半 轴 长 的 平 方 .
10、于 是 ,实 半 轴 越 长 ,线 素 场 的 方 向 越 陡 .从 而 , 根 据 线 素 场 线 素 的 趋 势 ,大 体 上 可 以 描 出 积 分 曲 线 . 如 图 (8)所 示 . 3.试 用 欧 拉 折 线 法 ,取 步 长1 . 0=h,求 初 值 问 题 = += 1) 1 ( , 22 y yx dx dy 的 解 在4 . 1=x时 的 近 似 值 . 解令1 0 =x,1 0 =y. 则, 1 . 11 . 0 01 =+=xx; 2 . 11 . 021 1 =+=y , 2 . 11 . 0 12 =+=xx;465 . 1 1 . 065 . 2 2 . 1 2
11、=+=y , 3 . 11 . 0 23 =+=xx;824 . 1 1 . 0586 . 3 465. 1 3 =+=y , 4 . 11 . 0 34 =+=xx.326 . 2 1 . 0017 . 5 824 . 1 4 =+=y 图 (8) 图 (7) 图 (6) 14 习 题习 题 2.22.22.22.2 1.试 判 断 方 程xx dx dy tan=在 区 域 (1);0, 11: 1 yxR (2) 44 , 11: 2 yxR 上 是 否 满 足 定 理2 . 2的 条 件 ? 解 ： (1)不 满 足 .因 为 在 区 域 1 R上 ,右 端 函 数yxyxftan),
12、(=当 2 =y时 不 连 续 . (2)满 足 .因 为 在 区 域 2 R上 , 右 端 函 数yxyxftan),(=连 续 且 2 cos ),( 2 = y x yxfy有 界 . 2.判 断 下 列 方 程 在 什 么 样 的 区 域 上 保 证 初 值 解 存 在 且 唯 一 ? (1) 22 yxy+=;(2)yxysin+=; (3) 3 1 =xy;(4)yy=. 解 ：(1)因 为 22 ),(yxyxf+=及yyxfy2),(=在 整 个xoy平 面 上 连 续 ,所 以 在 整 个xoy平 面 上 满 足 存 在 唯 一 性 定 理 条 件 .进 而 在xoy平 面
13、上 保 证 初 值 解 存 在 且 唯 一 . (2)因 为yxyxfsin),(+=及yyxfycos),(=在 整 个xoy平 面 上 连 续 ,所 以 在 整 个xoy平 面 上 满 足 存 在 唯 一 性 定 理 条 件 .进 而 在xoy平 面 上 保 证 初 值 解 存 在 且 唯 一 . (3)因 为 方 程 右 端 函 数=),(yxf 3 1 x在 除 去y轴 外 的 整 个xoy平 面 上 连 续 且0),(=yxfy,所 以 在 除 去y轴 外 的 整 个xoy平 面 上 初 值 解 存 在 且 唯 一 . (4)因 为 方 程 右 端 函 数=),(yxfy= 0, ,
14、 0, yy yy 在 整 个xoy平 面 上 连 续 ,而 = 0, 2 1 , 0, 2 1 ),( y y y y yxfy在 除 去x轴 外 的 整 个xoy平 面 上 15 连 续 ,所 以 在 除 去x轴 外 的 整 个xoy平 面 上 初 值 解 存 在 且 唯 一 . 3.讨 论 方 程 3 1 2 3 y dx dy =在 怎 么 样 的 区 域 中 满 足 定 理2 . 2的 条 件 .并 求 通 过 )0 , 0(的 一 切 解 . 解 ： 右 端 函 数 对y的 偏 导 数 3 2 2 1 = y y f ,显 然 它 在 任 何 一 个 不 包 含x轴 )0(=y上
15、的 点 的 有 界 闭 区 域 中 是 有 界 的 ,因 此 在 这 种 区 域 中 解 是 存 在 唯 一 的 .即 ,只 有 通 过0=y上 的 点 可 能 出 现 多 个 解 的 情 况 (方 程 右 端 的 连 续 性 保 证 在 任 何 有 界 区 域 中 ,解 是 存 在 的 ). 原 方 程 分 离 变 量 得 dxdyy 2 3 3 1 = 上 式 两 端 取 积 分 得 Cxy 2 3 2 3 2 3 3 2 = 2 3 )(Cxy= 其 中 . 0 )(Cx此 外 有 特 解0=y.因 此 过 点)0 , 0(有 无 穷 多 个 解 (如 图 (9)所 示 ) . 0=y,
16、 = CxCx Cx y ,)( , 0 2 3 = .,)( , 0 2 3 CxCx Cx y 4.试 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 2 yx dx dy =满 足 初 值 条 件0)0(=y的 近 似 解 : )(),(),(),( 3210 xxxx 图 (9) 16 解 ：0)0()( 0 =yx 2 0 1 2 1 )0(0)(xdssx x =+= 52 0 22 2 20 1 2 1 ) 2 1 (0)(xxdsssx x =+= . 4400 1 160 1 20 1 2 1 ) 20 1 2 1 (0)( 11852 0 252 3 xxxxdssssx x +=+= 5.试 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 22 xy dx dy =满 足 初 值 条 件1)0(=y的 近 似 解 : )(),(),( 210 xxx 解 ：1)0()( 0 =yx
