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1、第二讲第四节摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1当2时，圆的渐开线上的点是()A(6,0)B(6,6)C(6，12) D(，12)解析：当2时，得，故点(6，12)为所求答案：C2已知一个圆的参数方程是(为参数)，那么圆的摆线方程中参数对应的点的坐标与点之间的距离为()A1 BC D解析：根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程，得，代入距离公式，可得距离为.答案：C3给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆
2、的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确的说法有()A BC D解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置答案：C4. 如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH中做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是
3、()A3 B4C5 D6解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5给出某渐开线的参数方程(为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，且当参数取时对应的曲线上的点的坐标是_.解析：本题考查对渐开线参数方程的理解根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(为参数)进行对照可知，这里的r3，即基圆半径是3.然后把分别代入x和y，可得即得对应的点的坐标答案：36渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横
4、坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为_.解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2y236，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程y236，即1，对应的焦点坐标为(6，0)和(6，0)，它们之间的距离为12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)7已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程解析：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(为参数)
5、8已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(为参数)9(10分)已知圆C的半径为2，圆周上有一点A，当圆C沿直线l滚动时，(1)求CA中点的轨迹方程；(2)若在CA的延长线上取点Q，使|AQ|CA|，求Q的轨迹方程解析：(1)以直线l为x轴，点A落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C转过角时，圆心的坐标为(2，2)，根据已知，点A的轨迹是平摆线，此时A点坐标为(22sin，22cos)，设CA中点P的坐标为(x，y)，则即为P点的轨迹方程(2)设点Q的坐标为(x，y)|AQ|CA|，A为CQ的中点，故有，为Q点的轨迹方程
