中考隐形圆问题（2020年整理）.pptx

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1、2019 中考数学复习 隐形圆问题大全,一 定点+定长 1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的 圆。,2.应用： （1）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD=2，BC=1，ABCD，求 BD 的长。,简析：因 AB=AC=AD=2，知 B、C、D 在以 A 为圆 2 为半径的圆上，由 ABCD 得 DE=BC=1，易求 BD= 15 。,（2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 边上的动点，将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF，连接 BD，则 B D 的 最 小 值 是 .,1,简析：E 为定点，E

2、B为定长， B点路径为以 E 为圆心 EB为半径的圆， 作穿心线 DE 得最小值为 2 10 。,（3）ABC 中，AB=4，AC=2，以 BC 为边在ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为 .,简析：先确定 A、B 点的位置，因 AC=2，所以 C 点在以 A 为圆心，2 为半径 的圆上；因点 O 是点 C 以点 B 为中心顺时针旋转 45 度并 1：2 缩小而得， 所以把圆 A 旋转 45 度再 1： 2 缩小即得 O 点路径。如下图，转化为求定点 A 到定圆 F 的最长路径，即 AF+FO=32 。,2,二 定线+定角 1.依据：与一条定线的两端夹

3、角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆 周角的弧。,2.应用： （1）矩形 ABCD 中，AB=10，AD=4，点 P 是 CD 上的动点，当APB=90时 求 DP 的长.,简析：AB 为定线，APB 为定角（90），P 点路径为以 AB 为弦（直径） 的弧，如下图，易得 DP 为 2 或 8。,（2）如图，XOY = 45，等边三角形 ABC 的两个顶点 A、B 分别在 OX、 OY 上移动，AB = 2，那么 OC 的最大值为 .,3,简析：AB 为定线，XOY 为定角，O 点路径为以 AB 为弦所含圆周角为 45 的弧，如下图，转化为求定点 C 到定圆 M 的最长路径，即 CM+MO=

4、 3 +1+2 。,（3）已知 A（2，0），B（4，0）是 x 轴上的两点，点 C 是 y 轴上的动点， 当ACB 最大时，则点 C 的坐标为_,简析：作ABC 的处接圆 M，当ACB 最大时，圆心角AMB 最大，当圆 M 半径最小时AMB 最大，即当圆 M 与 y 轴相切时ACB 最大。,4,如下图，易得 C 点坐标为（ 0，22 ）或（0，-22 ）。,（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2-3ax-4a 的图象经过点 C(0, 2),交轴于点 A、B，(A 点在点左侧),顶点为 D. 求抛物线的解析式及点 A、B 的坐标; 将ABC 沿直线 BC 对折,点 A 的对称点为

5、A,试求 A的坐标; 抛物线的对称轴上是否存在点 P,使BPC=BAC？若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由.,简析：定线 BC 对定角BPC=BAC，则 P 点在以 BC 为弦的双弧上（关于 BC 对称），如下图所示。,5,三 三点定圆 1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。,2.应用： ABC 中，A45，ADBC 于 D，BD=4，CD=6，求 AD 的长。,简析：作ABC 的外接圆，如下图，易得 AD=7+5=12。,四 四点共圆 1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。,6,2.应用： 如图，在矩形 ABCD 中， AB=6，AD=8，P、E

6、 分别是线段 AC、BC 上的点，四 边形 PEFD 为矩形，若 AP=2，求 CF 的长。,简析：因PEF=PDF=DCE=90，知 D、F、C、E、P 共圆，如下图，由 1=2、4=5，易得APDDCF，CF：APCD：AD，得 CF1.5。,五旋转生圆 1.如图，圆 O 的半径为 5，A、B 是圆上任意两点，且 AB=6，以为 AB 边作正 方形 ABCD（点 D、P 在直线两侧），若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 边扫过 的面积为_ 。,简析：CD 旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为 PC，二 是最近点距离为 P 到直线 CD 的垂线段，从而确定两个圆，CD 即

7、为两圆之间 的圆环，如下图。,7,2.如图，在ABC 中，BAC=90，AB=5cm，AC=2cm，将ABC 绕顶点 C 按 顺时针方向旋转至ABC 的位置，则线段 AB 扫过区域的面积为_。,简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为 45 度的扇环。,六 动圆综合 1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。 如图, ABC 中, ABC90, AB6, BC8, O 为 AC 的中点, 过 O 作 OEOF, OE、OF 分别交射线 AB、BC 于 E、F, 则 EF 的最小值为 .,8,简析：图中显然 O、E、F、B 共圆，圆是动的，但弦 BO5，当 BO 为直径时

8、 最小，所以 EF 最小为 5.,2.动圆+定线：相切时为临界值。 如图, RtABC 中, C90, ABC30, AB6, 点 D 在 AB 边上, 点 E 是 BC 边上一点 (不与点 B、C 重合), 且 DADE, 则 AD 的取值范围 是 。,简析：因 DA=DE，可以 D 点为圆心以 DA 为半径作圆，则圆 D 与 BC 相切时， 半径 DE 最小。E 向 B 点移动半径增大直至 D 到 B 处（不含 B 点），得 2 AD3。,9,3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。 已知：ABC 中，B=45，C=60，D、E 分别为 AB、AC 边上的一个动

9、 点，过 D 分别作 DFAC 于 F，DGBC 于 G，过 E 作 EHAB 于 H，EIBC 于 I，连 FG、HI， 求证：FG 与 HI 的最小值相等。,简析：可以看 HI 何时最小，因 B、H、E、I 共圆，且弦 HI 所对圆周角一定， 所以当此圆直径最小时弦 HI 最小，即当 BE 最小时，此时 BEAC，解OHI 可得 HI 的最小长度。同样可求 FG 的最小长度。 此题可归纳一般结论：当ABC=，ACB=，BC=m 时，FG 和 HI 的最小 值均为 m*sin*sin。,10,达标测试： 1.BCAC6，BCA90，BDC45，AD2，求 BD.,2.如图，将线段 AB 绕点

10、 A 逆时针旋转 60得到线段 AC，继续旋转（ 0 120）得到线段 AD，连接 CD，BD，则BDC 的度数为 .,3.如图，在边长为 23 的等边ABC 中，动点 D、E 分别在 BC、AC 边上， 且保持 AE=CD，连接 BE、AD，相交于点 P，则 CP 的最小值为_.,11,4.如图，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交ABC 的外角平分线于点 F，求证： FEDE.,5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？如图，设墙 壁上的展品最高点 P 距离地面 2.5 米，最低点 Q 距地面 2 米，观察者的眼 睛 E 距地面 1.6

11、米，当视角PEQ 最大时，站在此处观赏最理想，则此时 E 到墙壁的距离为 米.,6.如图直线 y=x+2 分别与 x 轴，y 轴交于点 M、N，边长为 1 的正方形 OABC 的一个顶点 O 在坐标系原点，直线 AN 与 MC 交于点 P，若正方形 OABC 绕点 O 旋转一周，则点 P 到点（0, 1）长度的最小值是_.,12,2016淮安填压）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，点 F 在边 AC 上，并,且 CF2，点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 ,【分析】如图，延长 FP 交 AB

12、于 M，当 FPAB 时，点 P 到 AB 的距离最小，利用AFM ABC，得到求出 FM 即可解决问题 【解答】解：如图，延长 FP 交 AB 于 M，当 FPAB 时，点 P 到 AB 的距离最小（点 P 在以 F 为圆心 CF 为半径的圆上，当 FPAB 时，点 P 到 AB 的距离最小）,AA，AMFC90， AFMABC， ， CF2，AC6，BC8， AF4，AB10， ， FM3.2， PFCF2， PM1.2 点 P 到边 AB 距离的最小值是 1.2 故答案为 1.2 （2016无锡填空倒 2）如图，已知OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是 坐标原

13、点，则对角线 OB 长的最小值为 ,13,【分析】过点 B 作 BD直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于 点 E则 OB由于四边形 OABC 是平行四边形，所以 OABC，又由平 行四边形的性质可推得OAFBCD，则可证明OAFBCD，所以 OE 的长固定不 变，当 BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求 【解答】解：过点 B 作 BD直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点 E，直线 x1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x4 与 AB 交于点 N，如 图： 四边形 OABC 是平行四边形， OAB

14、BCO，OCAB，OABC， 直线 x1 与直线 x4 均垂直于 x 轴， AMCN， 四边形 ANCM 是平行四边形， MANNCM， OAFBCD， OFABDC90， FOADBC， 在OAF 和BCD 中， ， OAFBCD BDOF1， OE4+15， OB 由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时（即 B 点在 x 轴上），OB 取得最小值，最小值为,14,OBOE5 故答案为：5,（2017南通选压）如图，矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AECG，BFDH，则四边形 EFGH 周长的最小值为（ ）,A5B10C10D1

15、5 【分析】作点 E 关于 BC 的对称点 E，连接 EG 交 BC 于点 F，此时四边形 EFGH 周 长取最小值，过点 G 作 GGAB 于点 G，由对称结合矩形的性质可知：EG AB10、GGAD5，利用勾股定理即可求出 EG 的长度，进而可得出四边形 EFGH 周长的最小值 【解答】解：作点 E 关于 BC 的对称点 E，连接 EG 交 BC 于点 F，此时四边形 EFGH 周长取最小值，过点 G 作 GGAB 于点 G，如图所示 AECG，BEBE， EGAB10， GGAD5，,EG,5，,15,C 四边形 EFGH2EG10 故选：B,（2018镇江选压）如图，一次函数 y2x

16、与反比例函数 y （k0）的图象交于 A，B 两 点，点 P 在以 C（2，0）为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP 的中点，已知 OQ 长的 最大值为 ，则 k 的值为（ ）,ABCD 【分析】作辅助线，先确定 OQ 长的最大时，点 P 的位置，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长， 设 B（t，2t），则 CDt（2）t+2，BD2t，根据勾股定理计算 t 的值，可得 k 的值 【解答】解：连接 BP， 由对称性得：OAOB， Q 是 AP 的中点， OQ BP， OQ 长的最大值为 ， BP 长的最大值为 23， 如图，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，过 B 作 BDx 轴于 D， CP1， BC2， B 在直线 y2x 上， 设 B（t，2t），则 CDt（2）t+2，BD2t， 在 RtBCD 中，由勾股定理得：BC2CD