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1、第十一章 无穷级数测试题一、 单项选择题1、若幂级数在处收敛,则该幂级数在处必然( )(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是( ). (A) (B) (C) (D) 3、若数项级数收敛于,则级数( )(A) (B) (C) (D) 4、设为正常数,则级数( ).(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与有关.5、设,而,其中,则等于( )(A) (B) (C) (D) .二、 填空题1、 设,则( )2、 设的收敛域为,则级数的收敛区间为( )3、 设,则以2为周期的傅里叶级数在处收敛于( )4、 设的
2、傅里叶级数为则( )5、级数的和为( )三、计算与应用题1、求级数的收敛域2、求的和3、将函数展开为的幂级数,并求4、求的和函数5、 已知满足,为正整数,且,求函数项级数的和函数.6、 设有方程,其中为正整数,证明此方程存在唯一正根,并证明当 时,级数收敛.四、证明题设(1) 求(2) 试证:对任意常数,级数收敛提示:,. 因为,所以,第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A; 2、D;3、B;4、C;5、B.二、1、1;2、;3、;4、;5、.三、1、答案:.2、答案:提示:原式为级数的和函数在点的值.而,分别求出和的和函数即可.3、答案: .提示: 4、答案:提示:,而5、答案:提示:
3、先解一阶线性微分方程,求出特解为 ,记,则可得6、提示:设,则,故在内最多有一个正根.而,所以有唯一正根.由方程知,故当 时,级数收敛.四、提示:,. 因为,所以,第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知为某二元函数的全微分,则等于( )(A) (B) (C) (D) .2、设闭曲线为的正向,则曲线积分的值等于( ) (A) (B) (C) (D) .3、设为封闭柱面,其向外的单位法向量为,则等于( )(A) (B) (C) (D) .4、设曲线为,则等于( ) (A) (B) ; (C) (D) .5、设为下半球的上侧,是由和所围成的空间闭区域,则不等于( ) (A) (B)
4、; (C) (D) .二、填空题1、设是圆周,则( )2、设质点在力的作用下沿椭圆的逆时针方向运动一周,则所做的功等于( )3、设是平面被圆柱面所截下的部分,则等于( )4、设是球面的外侧,则等于( )5、设与路径无关,其中连续且,则( )三、计算与应用题1、求,其中为正常数,为从点沿曲线到点的弧.2、计算,其中为圆周.3、在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦挂线的点,问取何值时,力所做的功最大?并求出最大值.4、设为椭球面的上半部分,点,为在点处的切平面,为点到平面的距离,求.5、求,其中为曲面的上侧.6、设对于半空间内任意光滑有向闭曲面,都有,其中函数在内具有连续的一阶导数
5、,且,求.答案:提示:由题设和高斯公式得由的任意性,知,解此微分方程即可.四、 证明题已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2)第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D;2、C;3、A;4、B;5、B.二、1、;2、;3、;4、;5、.三、1、答案:.提示:添加从沿到点的有向直线段,然后用格林公式.2、答案:.提示:利用变量“对等性”.3、答案: .提示:直线段,从0变到1,功为 再求在条件下的最大值即可.4、答案: .提示:曲面在点处的法向量为,切平面方程为:,点到平面的距离.5、答案:.提示:添加曲面为平面上被椭圆所围的下侧,在和所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在的积分
6、等于为0.6、提示:(1) 左边=,同理,右边=(2) 由(1)得=,而由和泰勒展开式知道,而.第九章 重积分测试题一、选择题1、若区域是平面上以,和为顶点的三角形区域,是在第一象限中的部分,则( ).(A) ;(B) (C) (D) 02、设连续,且,其中是平面上由 和所围区域,则等于( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3、设其中,则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4、设空间闭区域由及确定,为在第一挂限的部分,则( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 5、设空间闭区域,则下列将化为累次积分中不正确的是( ).(A) ; (B) ;(C) ; (
7、D) 二、填空题1、设区域为,则的值等于( )2、设,则的值等于( )3、积分的值等于( )4、积分可化为定积分,则等于( )5、积分的值等于( )三、计算与应用题1、求,其中是由圆和所围的平面区域.2、求,其中.3、计算,其中由曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面与平面所围的立体.4、计算,由及确定.5、计算.6、设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为),问高度为的雪堆全部融化需多少小时?四、证明题设函数在上连续,并设,证明.第九章 重积分测试题答案与提示一、1、A;2、D;3、A;4、C;5、B.
8、二、1、;2、;3、;4、;5、.三、1、答案:.提示:将看成两个圆域的差,再考虑到奇偶对称性,利用极坐标计算便可.2、答案:提示:为确定,必须将分成两个区域,再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案:提示:旋转曲面的方程为,用柱面坐标计算即可.4、答案:.提示: , .5、答案:.提示:交换积分次序.6、答案:小时提示:先利用三重积分求出雪堆的体积; 再求出雪堆的侧面积;由题意,所以,解出并令其等于0,则可得结果.四、提示:交换积分次序,并利用.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、已知函数在上连续,那么( ). (A) (B) (C) ; (D) 2、在矩形域内,是(常数)的(
9、).(A) 充要条件; (B)充分条件; (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件3、若函数在区域内的二阶偏导数都存在,则( ) (A) 在内成立; (B)在内连续; (C) 在内可微分; (D)以上结论都不对4、的值为( )(A) ; (B) 不存在; (C) ; (D) .5、设有三元函数,据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程( ). (A)只能确定一个具有连续偏导的隐函数; (B)可确定两个具有连续偏导的隐函数和; (C)可确定两个具有连续偏导的隐函数和; (D)可确定两个具有连续偏导的隐函数和.二、填空题1、设,则的值为( ).2、设具有连续偏导数,且,令,则的
10、值为( ).3、设,其中是由确定的隐函数,则( ).4、曲线在点处的切线方程为( ).5、函数在点处沿( )方向的方向导数最大?三、 计算和应用题1、设为某一函数的全微分,求和的值2、设,具有二阶连续偏导数,且,如果,求常数的值.3、在椭球内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设,而是由方程所确定的的函数,求5、设有二阶连续偏导数, , 且, 证明 在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.6、设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为(1) 设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导
11、数的最大值为,试写出的表达式.(2) 现利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点,试确定攀登起点的位置.四、 证明题设可微,试证曲面上任一点处的切平面都通过定点.第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C;2、A;3、D;4、B;5、D.二、1、;2、;3、1;4、;5、.三、1、答案:.提示: 利用这一条件.2、答案:.提示: ,又因为,所以,.3、答案:.提示:设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为,则求体积在条件下的极值就可.4、答案:.5、答案:故是极大值.提示:由全微分的定义知 A= , 且, 故是极大值.6、答案: 攀登起点的位置: .
12、提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模. 然后再求在条件下的极大值点就可.四、答案: 通过定点.第六章 微分方程测试题一、选择题1、设是的解,若且,则在点 ( ).(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在某邻域内单增; (D) 在某邻域内单减.2、微分方程的一个特解应具有形式 ( ) (为常数).(A) (B) (C) (D) 3、微分方程的特解形式可设为( ). (A) (B) (C) (D) 4、设线性无关的函数都是非齐次线性微分方程的解,是任意常数,则该方程的通解为( ). (A) (B) (C) (D) 5、方程满足的特解为( ). (A) (B) (
13、C) (D) 二、填空题1、已知微分方程有一个特解,则其通解为( ).2、以为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ).3、若连续函数满足,则等于( ).4、已知函数在任意点处的增量,其中是比高阶的无穷小,且,则等于( ).5、的通解为( ).三、计算和应用题1、 设是二阶常系数线性微分方程的一个特解,求该微分方程的通解.2、 设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.(1) 试将所满足的微分方程变换为所满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足条件的解.3、已知都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解,试求此微分方程4、 已知连续函数满足,求.5、 已知连续函数满足,求.6、设函数在上连续恒正,若曲线,直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为,试求所满足的微分方程,并求该方程满足的特解.四、证明题证明方程(其中连续)的通解为,其中为任意常数.第