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1、Page 1,基本计数原理 排列与组合,Page 2,走进高考第一关 基础关教 材 回 归,Page 3,1.分类加法计数原理(加法原理)完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同方法,那么完成这件事共有_种.,N=m+n,Page 4,2.分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有_种不同的方法.,N=mn,Page 5,按照一定的顺序排成一列,所有不同排列的个数,合成一组,所有不同组合的个数,Page 6,Page 7,Page 8,考 点 陪 练,Page 9,1.书架
2、上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书,从中任取一本书,则不同的取法种数有( )A.11B.30C.65D.56,解析:6+5=11(种).,答案:A,Page 10,2.书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书,从中任取数学书和语文书各一本,则不同的取法种数有( )A.11B.30C.65D.56,解析:65=30(种).,答案:B,Page 11,3.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种,答案:C,Page 12,4.(2010石家庄质检二)(基础题,易)一排7
3、个座位,甲乙两人就座,要求甲与乙之间至少有一个空位,则不同的坐法种数是( )A.30B.28C.42D.16,答案:A,Page 13,5.从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出.如果甲、乙两种作物不能放入第1号瓶内,那么不同的放法种数有( ),解析:先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1,答案:C,Page 14,解读高考第二关 热点关,Page 15,类型一:两个原理的综合应用,解题准备:1.两个原理的区别在于“分类”与“分步”,完成一件事的方法种数若需“分类”思考,则这n类办法是相互独立的,且无论哪一类办法中的哪一个方法都能单独完成这件事,则用加法计数.若完成
4、这件事需分为n个步骤,这n个步骤相互依存,具有连续性,当且仅当这n个步骤依次全都完成后,这件事才算完成,那么完成这件事的方法总数用乘法计算.,Page 16,2.处理具体问题时,首先要弄清是“分类”还是“分步”,简单地说是“分类互斥、分步互依”,因此在解题时,要搞清题目的条件与结论,且还要注意分类时,要不重不漏,分步时合理设计步骤,顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步,也就是说既要应用分类计数原理又要运用分步计数原理.,Page 17,典例1如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供使用,则不同的着色方法共有多少种
5、?,Page 18,解 此题若直接采用分步计数原理依次对1,2,3,4,5号区域涂色,则1号有4种方法,2号有3种方法,3号有2种方法,4号有2种方法,而5号区域则不能确定,由于当2与4号区域同色时,5号有2种方法,若2与4异色,则5号区域只有1种方法,从而必须两个原理同时使用才能解决问题.法1:先分步后分类,由以上分析可分三步完成涂色任务.,Page 19,第一步:涂1号区域,有4种方法.第二步,涂2号区域,有3种方法.第三步,涂3,4,5号区域,用分类计数原理分为两类.若4与2同色,则有3与5号区域各有两种涂法,故有22=4(种)方法.若4与2异色,则有3与5号区域只有一种涂法,此时有21
6、1=2(种)方法.,Page 20,从而完成5个区域着色的方法共有43(4+2)=72(种).法2:先分类后分步.由分析可知,分为2,4同色与2,4异色两类.第一类,若2,4同色,则由分步计数原理依次对1,2,4,3,5号区域着色得43122.第二类,若2,4异色,则由分步计数原理依次对1,2,4,3,5号区域着色得,43211.,Page 21,由分类计数原理得,共有43122+43211=72(种)着色方法.类型二:简单的排列应用题,Page 22,解题准备:求排列应用题的主要方法有:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;特殊元素(或位置)优先安排的方法;合理分类与准确分步的方法;排列,
7、组合混合问题,先选后排的方法;相邻问题,捆绑处理的方法;不相邻问题,插空处理的方法;分排问题,直排处理的方法;,Page 23,“小集团”排列问题中,先集体后局部的处理方法;定序问题,除法处理的方法;正难则反,等价转化的方法;,（11）复杂排列问题,通过试验画简图等直观化的处理方法.,Page 24,典例2六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?,(1)甲不站两端;(2)甲乙必须相邻;(3)甲乙不相邻;(4)甲乙之间恰间隔两人;(5)甲乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.,分析 相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插空法,在与不在问题直接法或间接法.,Page 25,解析:(1)方法一
8、:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个有 种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有 种站法,根据分步计数原理,共有站法 (种).,方法二:若对甲没有限制条件共有 种站法,甲在两端共有 种站法,从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数有 (种).,Page 26,Page 27,Page 28,Page 29,Page 30,Page 31,评析 (1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型.某些元素不能排在或必须排在某一位置;某些元素要求相离(即不能相邻);某些元素要求相邻(即必须相邻).,Page 32,(2)解题的基本方法有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊元素
9、或特殊位置,称为“优先处理元素(位置)法”;某些元素要求不相邻排列时,可先排其他元素,再将这些不相邻元素插入“空档”,称为“插空法”;某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素作为一个整体元素,与其他元素排列后,再考虑整体内部的排序,称为“捆绑法”.,Page 33,(3)解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种思路.正向思考时,通过分步分类设法将问题分解;逆向思考时,从集合的角度看,就是先从问题涉及的集合在全集中的补集入手,这常使问题简化.,Page 34,类型三:简单的组合应用题,解题准备:组合的应用:(1)无约束条件的组合;(2)有约束条件的组合.掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常
10、见类型,在解有限制条件的组合应用题时,要从分析入手,明确限制条件有哪些,所给元素分几类,识别是什么基本类型,一般方法还是直接法、间接法.,常见的类型有:分组与分配:平均分组用除法,分配是分组后排列;至多至少型:常用直接分类法或间接相减法;图形问题:要注意共点,共线、共面等特殊情况,做到不重不漏.,Page 35,典例3男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?,(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.,分析 (1)分步.(2)可分类也可用间接法.(3)可分类
11、也可用间接法.(4)分类.,Page 36,解 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法.第二步:选2名女运动员,有 种选法.共有 种选法.,(2)方法一:至少1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为 种.,Page 37,方法二:“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有 种选法,其中全是男运动员的选法有 种.所以“至少有1名女运动员”的选法为 种.,Page 38,(3)方法一:可分类求解:“只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 ;“男、女队长都入选”的选法为 ;所以共有 种选法.
12、,Page 39,Page 40,评析 解组合题时,常遇到至多,至少问题,可用直接法分类求解,也可用间接法求解以减少运算量,当限制条件较多时,要恰当分类,逐一满足.,Page 41,类型四:排列与组合的综合问题,解题准备:(1)对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则:一是按元素的性质分类,二是按事件发生的过程进行分步.,Page 42,(2)对于有附加条件的排列组合应用题,通常从三个途径考虑:,以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.,Page
13、43,典例4有6本不同的书.,(1)甲乙丙3人每人2本,有多少种不同的分法?(2)分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法?(3)分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法?,(4)分给甲乙丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法?(5)分成3堆,有2堆各1本,另一堆4本,有多少种不同的分堆方法?(6)摆在3层书架上,每层2本,有多少种不同的摆法?,Page 44,解析 (1)在6本书中,先取2本给甲,再从剩下4本书中取2本给乙,最后2本给丙,共有,(3)从6本书中,先取1本作一堆,再在剩下的5本中取2本作一堆,最后3本作一堆,共有,Page 45,P
14、age 46,探究 有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内.,(1)共有多少种放法?(2)恰有一个盒内不放球,有多少种放法?(2)恰有一个盒内有2个球,有多少种放法?(3)恰有两个盒内不放球,有多少种放法?,Page 47,解 (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法,由分步计数原理,放法共有: 种.,(2)“恰有一个盒内放2个球”,即另外的三个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,即另外三个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事,故也有144种放法.,Page 48,(3)先从四个盒子中任意拿走两个,问题转化为:“4个球,
15、两个盒子,每个盒子必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为3,1和2,2两类.第一类:可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 种放法;,第二类:有 种放法.因此共有 种,由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有: 种.,Page 49,笑对高考第三关 成熟关名 师 纠 错,Page 50,误区一:题意难清,映射过渡典例1动物园的一个大笼子里,有4只老虎,3只羊,同一只羊不能被不同的老虎分食,问老虎将羊吃光的情况有多少种?,错解 因为羊被老虎吃掉,4只老虎都有羊吃,所以分四步完成.考虑其中每一只老虎都有3只羊可供选择,故有3333=34=81种.,剖析 题意没理清,限制条
16、件没把准.同一只羊不能被不同的老虎分食,只有3只羊,而有4只老虎,至少有一只老虎没吃到羊,故按照老虎分类错误,而应按羊作为主体进行研究才对.,Page 51,正解 解法一:因为3只羊都被吃掉,故应分为三步,逐一考虑.每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉,故有4种可能,按照分步计数原理,故有444=43=64种.,解法二:此类题型,若用映射,会快速准确的多.构造映射,记A=虎1,虎2,虎3,虎4,B=羊1,羊2,羊3,依题意,羊被虎吃,且同一只羊不能被不同的老虎分食,故应是从B到A的映射(一对一),于是分三步,每步中原象(羊)找对应的象(虎)都有4种可能,故有444=43=64.,Page 52,误区二:重复与遗漏,两者皆不许典例2“办好奥运,人人有责”.4名志愿者被分配到3个不同的体育馆负责接待工作,每个体育馆至少去1人,求分配方案有多少种?,错解 因为每个体育馆至少去1人,故先从4人中选出3人分别安排到3个不同体育馆,共有
