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1、北京市人民大学附属中学2021届高三数学上学期8月练习试题（含解析）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A=x|x-10，B=0，1，2，则AB=（ ）A. 0B. 1C. 1，2D. 0，1，2【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A=x|x1，B=0，1，2，AB=1，2故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 已知i为虚数单位，若iz=1+i，则复数z在复平面内对应的点
2、位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算求出以及对应复平面内的点，即可得出答案.【详解】，则复数在复平面内对应的点为即复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点睛】本题主要考查了根据复数的几何意义求复数所在象限，属于基础题.3. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式进行计算可得答案.【详解】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱
3、如图，等腰直角三角形斜边上的高为1，斜边长为2，棱柱的高为2，则棱柱的体积,故选：C【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，考查空间想象能力，属于基础题.4. 展开式中项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项求解即可.【详解】的展开式通项为，当出现项时，得，故含项的系数为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，较容易，解答时要灵活运用展开项的通项公式.5. 我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增
4、加的量相同，周而复始则下列说法不正确的是（ ）注：“相差”是指差的绝对值A. 立春和立冬的晷长相同B. 立夏和立秋的晷长相同C. 与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D. 与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长【答案】D【解析】【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.所以说法错误的是D.故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.6. 点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）A. B. C. D
5、. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质，的最小值等价于的最小值，即焦点到直线的距离.【详解】由题可知是抛物线的准线，交点，由抛物线的性质可知,，如图，当在一条直线上时，取得最小值为，利用点到直线距离公式可以求出，所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.7. “”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集，利用集合间的基本关系判断充分性和必要性.【详解】令，在上单调递增，且，等价于，即，令
6、，在上单调递增，且，等价于，即，“”是“”的充分必要条件，“”是“”的充分必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，将条件转化为利用集合间关系判断是解决此类问题的常用方法.8. 以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义得，进而得，再结合三角恒等变换和三角函数的性质得.【详解】解：根据三角函数的定义得,由于角的终边顺时针旋转得到角，故,所以，所以因为，所以，所以，即.故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.9. 若圆P
7、的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆心P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，由勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案【详解】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径过点作圆的切线，切点为，则当最小时，最小又由点在圆上，则的最小值为则的最小值为；故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：）的记录数据如下：甲地5
8、个数据的中位数为26，众数为22；乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据众数的定义至少出现2次，假设有一天低于22，再由中位数判断；设温度由低到高为：，根据方差的定义得到，假设有一天低于22，再由平均数判断；设温度由低到高为：，由平均数的定义得到，假设假设有一天低于22，再由中位数判断；【详解】因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；设温度由低到高为：，根据方差的定义，所以，若有一天低于
9、22，不妨设，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；设温度由低到高为：，由题意得：，由平均数定义得：，即，若，取，则，不满足中位数26，故没有低于22的，所以丙地肯定进入夏季；故选：D【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，还考查了逻辑推理运算求解的能力，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 双曲线的焦距是_【答案】10【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求解即可.【详解】解：根据双曲线的标准方程得，所以，即，所以双曲线的焦距为.故答案为：【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题.12.
10、已知是等差数列，是公比为c的等比数列，则数列的前10项和为_，数列的前10项和为_（用c表示）【答案】 (1). 100 (2). 【解析】【分析】先根据求出等差数列的通项公式，计算前10项和即可，由等差数列的通项公式及是公比为c的等比数列求出，即可求前10项和.【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以，所以因为是公比为c的等比数列，且，所以，故，当时，当时，综上,故答案为：100；【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分组求和，属于中档题.13. 已知为等腰直角三角形，OC为斜边的高（1）若P为线段OC的中点，则_（2）若P为线段OC上
11、的动点，则的取值范围为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1) 由条件可知,又，代入中，利用向量的数量积的定义可求解答案.(2) 当P为线段OC上的动点时，设 ,利用向量的数量积的运算性质和定义可求解.【详解】为等腰直角三角形，为斜边的高,则为边的中线，所以,.(1) 当为线段OC的中点时，在中,为边上的中线,则 所以(2)当P为线段OC上的动点时，设 ,. 所以的取值范围为故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.14. 不等式对所有的都成立，则t的取值范围是_【答案】【解析】【分析】
12、看作关于的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得的范围.【详解】设 ，由，即解得或或，故答案为：.【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.15. 在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意给出下列四个结论：；对任意；存在其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】分析】根据给定的新运算得到的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号.【详解】由题设有，对于，故错误.对于，由中结果可知，故正确.对于，对任意，而，故，故正确.对于，取，则，而，故，故正确.故答案为：.【点
13、睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到的运算方法，本题属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，三棱柱中，平面，点E是棱的中点，已知（）求证：平面ABC；（）求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）首先证明四边形矩形，可得，结合，可证平面ABC（）分别以 ， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（）依题意，在中，所以，所以又因为三棱锥中，四边形为平行四边形，所以四边形为矩形，所以因为平面，平面，所以又因为平面ABC，所以平面ABC（）因为平面，平面，所以如图建立空间直角坐标系Bxyz，则，设平面的法向量为，则，令，则， ， 于是，设平面的法向量为，则即 令，则，于是，所以由题知二面角为锐角，所以其余弦值为【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题.17. 在ABC中，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求c的值及ABC的面积条件：；条件：；条件：csinA=3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【解析】【分析】选择条件，由正弦定理可得，又，由余弦定理可得，结合条件即可求得，从而得到三
