《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 6.4数列求和教案 理 新人教A版 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】2014届高三数学大一轮复习 6.4数列求和教案 理 新人教A版 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16.4数列求和2014 高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题1 等差数列前 n 项和 Sn na1 d，推导方法：倒序相加法；n a1 an2 n n 12等比数列前 n 项和 SnError!推导方法：乘公比，错位相减法2 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列
2、的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导(5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如， Sn100 299 298 297 22 21 2(10099)(9897)(21)5 050.3 常见的拆项公式(1) ；1n n 1 1n 1n 1(2) ；1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) .1n n 1 n 1 n难点正本疑点清源1 解
3、决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成2(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2 等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决1 在等差数列 an中， Sn表示前 n 项和， a2 a818 a5，则 S9_.答案54解析由等差数列的性质， a2 a818 a5，即 2a518 a5， a56， S9 9 a554. a1 a9 922 等比数列 an的公比 q ， a81，则 S8_.12答案255
4、解析由 a81， q 得 a12 7，12 S8 2 81255.a1 1 q81 q271 12 81 123 若 Sn1234(1) n1 n，则 S50_.答案25解析 S5012344950(1)2525.4 (2011天津)已知 an为等差数列，其公差为2，且 a7是 a3与 a9的等比中项， Sn为an的前 n 项和， nN *，则 S10的值为 ()A110 B90 C90 D110答案D解析 a3 a12 d a14， a7 a16 d a112， a9 a18 d a116，又 a7是 a3与 a9的等比中项，( a112) 2( a14)( a116)，解得 a120. S
5、101020 109(2)110.125 (2012大纲全国)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a55， S515，则数列的前 100 项和为1anan 1()3A. B. C. D.100101 99101 99100 101100答案A解析利用裂项相消法求和设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a55， S515，Error! Error! an a1( n1) d n. ，1anan 1 1n n 1 1n 1n 1数列 的前 100 项和为 1 1 .1anan 1 12 12 13 1100 1101 1101 100101题型一分组转化求和例 1已知数列 xn的首
6、项 x13，通项 xn2 np nq (nN *， p， q 为常数)，且x1， x4， x5成等差数列求：(1)p， q 的值；(2)数列 xn前 n 项和 Sn的公式思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于 p、 q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解解(1)由 x13，得 2p q3，又因为 x42 4p4 q， x52 5p5 q，且 x1 x52 x4，得 32 5p5 q2 5p8 q，解得 p1， q1.(2)由(1)，知 xn2 n n，所以 Sn(22 22 n)(12 n)2 n1 2 .n n 12探究提高某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求
7、和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论求和 Sn1 .(112) (1 12 14) (1 12 14 12n 1)解和式中第 k 项为4ak1 2 .12 14 12k 11 (12)k1 12 (1 12k) Sn2 (112) (1 122) (1 12n)2(111 ( )n个 12 122 12n2 2 n2.(n12(1 12n)1 12 ) 12n 1题型二错位相减法求和例 2设数列 an满足 a13 a23 2a33 n1 an ， nN *.n3(1)求数列 an的通项；
8、(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.nan思维启迪：(1)由已知写出前 n1 项之和，两式相减(2) bn n3n的特点是数列 n与3 n之积，可用错位相减法解(1) a13 a23 2a33 n1 an ，n3当 n2 时，a13 a23 2a33 n2 an1 ，n 13得 3n1 an ， an .13 13n在中，令 n1，得 a1 ，适合 an ， an .13 13n 13n(2) bn ， bn n3n.nan Sn323 233 3 n3n，3 Sn3 223 333 4 n3n1 .得 2Sn n3n1 (33 23 33 n)，即 2Sn n3n1 ， Sn
9、 .3 1 3n1 3 2n 1 3n 14 34探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3 n1 an的前 n 项和，从而利用 an与 Sn的关系求出通项 3n1 an，进而求得 an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程5的训练，重视运算能力的培养(2011辽宁)已知等差数列 an满足 a20， a6 a810.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1解(1)设等差数列 an的公差为 d，由已知条件可得Error!解得Error!.故数列 an的通项公式为 an2 n.(2)设数列
10、 的前 n 项和为 Sn，an2n 1即 Sn a1 ，a22 an2n 1故 S11， .Sn2 a12 a24 an2n所以，当 n1 时，得 a1 Sn2 a2 a12 an an 12n 1 an2n1( )12 14 12n 1 2 n2n1(1 ) .12n 1 2 n2n n2n所以 Sn .当 n1 时也成立n2n 1综上，数列 的前 n 项和 Sn .an2n 1 n2n 1题型三裂项相消法求和例 3在数列 an中， a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S an .2n (Sn12)(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn ，求 bn的前 n 项和 Tn.Sn2n
11、1思维启迪：第(1)问利用 an Sn Sn1 (n2)后，再同除 Sn1 Sn转化为 的等差数1Sn列即可求 Sn.第(2)问求出 bn的通项公式，用裂项相消求和解(1) S an ，2n (Sn12)an Sn Sn1 (n2)，6 S ( Sn Sn1 ) ，2n (Sn12)即 2Sn1 Sn Sn1 Sn，由题意 Sn1 Sn0，式两边同除以 Sn1 Sn，得 2，1Sn 1Sn 1数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列1Sn 1S1 1a1 12( n1)2 n1， Sn .1Sn 12n 1(2)又 bn Sn2n 1 1 2n 1 2n 1 ，12( 12n 1 12n 1
12、) Tn b1 b2 bn (1 )( )( )12 13 13 15 12n 1 12n 1 .12(1 12n 1) n2n 1探究提高使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的已知数列 an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且Sn ， nN *.an an 12(1)求证：数列 an是等差数列；(2)设 bn ， Tn b1 b2 bn，求 Tn.12Sn(1)证明 Sn ， nN *，an an 12当 n1 时， a1 S1 (an0)， a11.a1 a1 12当
13、 n2 时，由Error!得 2an a an a an1 .2n 2n 1即( an an1 )(an an1 1)0， an an1 0， an an1 1( n2)所以数列 an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)解由(1)可得 an n， Sn ，n n 127bn .12Sn 1n n 1 1n 1n 1 Tn b1 b2 b3 bn1 12 12 13 1n 1n 11 .1n 1 nn 1四审结构定方案典例：(12 分)已知等差数列 an满足： a37， a5 a726， an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1a2n 1审题路线图等差数列 an中，特定项的值( a3， a5， a7即为特定项)a37， a5 a726(从特定项，考虑基本量 a1， d)列方程组Error!(根据条件的结构特征，确定了方程的方法)用公式： an a1( n1) d， Sn na1 d.n n 12(将 an代入化简求 bn)bn14n n 1(根据 bn的结构特征，确定裂项相消)bn
