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1、微积分学基本定理 与定积分的计算,定义,一 变限积分与原函数的存在性,1 变限积分的概念,2 变限上积分的性质,1) 连续性,定理9.9,证明:,证,定理9.10,2) 原函数存在定理(微积分学基本定理),由积分中值定理得,注,（1）,（2）,(i) 解决了原函数的存在性问题,(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系,(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,证明:,（iiii) Newtomleibnize公式（微积分基本公式）证明,令,令,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,则,微积分基本公式表明：,(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.,例 求,解,
2、分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,3 积分第二中值定理,1) 定理9.11,2) 推论,证明:,因此证得,问题的提出,我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？,在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.,二 换元积分法与分部积分法,定理9.12,1 定积分的换元法(Formula for Integration by Substitution),则有定积分换元公式,证明：,说明,（1）,（2）,（3）,例1 计算,解,令,原式,例2 计算,解,令,此题也可简要记法如下：,例3 计算,解,它与上面第三个积分相消,故,2 定积分的分部积分法,(Formula for Integration by Parts),定理9.13,注:为方便起见,分部积分公式常写成,证明,例4,计算,解,作 业： P216 2、3 、6 P221 1、（1）-（8） 2、（1）-（5）、4,
