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1、一、不定积分的概念与性质,1、定义：,2、如何思考求,基本思路：,3、运算性质,（1）,（2）,是常数);,4、 基本积分表,基本积分表(续),(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),基本积分表(续),(8),1、思路：,移入,回代,换元,积分,关键：,移入,移哪个：,简单的、好移的,移的目的：,前后一致,二、第一类换元法（凑微分法）,2、凑微分法过程：（1）,明确移哪个,前后凑成一致,检验修正：,（2）换元,（3）积分,（4）回代,3、例,P151,例5.2.5,三、第二类换元法,1、思路:,换元,积分,微分,还原,关键步骤：,第一步，换元,2、说明：,（1）应用题型：,含根
2、式函数的积分,（2）关键：,换元,换元的目的：去掉根号,换元的方法：,三角代换,根式代换,倒代换,1、分部积分法的思路：,移,套公式,微分,积分,四、分部积分法,2、题型：,移的规律：,非多项式优先移,例. P159,例5.3.4,五、定积分的概念与性质,1. 几何意义:,由连续曲线,以及直线,所围成的图形的面积为：,1）规定:,2）性质,2、定积分的性质,4）性质,3）性质,( k 为常数),若在 a , b 上,则,5）性质,6）性质,设,则,8）性质,7）若在 a , b 上,则,则至少存在一点,可使,9）,六、积分上限函数及其导数,1、定义,称为积分上限函数或变上限积分。,2 、 性质
3、,例：,例题：p172,3(1)(2),七、牛顿 莱布尼茨公式,1、定理.,函数 ,则,2、如何求,先求不定积分,再套公式,1、第一换元法（凑微分法）,移、凑、检修,换元,八、定积分的求法,积分,套公式,换上下限,例：P177,3(1)(3),2、定积分的第二换元法,例 计算,4、分部积分法的思路：,移,套公式,计算、微分,积分,P183,1(1)(5),5、广义积分 :,如何求,先求不定积分,再套公式,求极限,九、 多元函数微积分,1、在空间直角坐标系中，任意两点,之间的距离为,2、多元函数的概念,如何求二元函数的定义域：,求使函数有意义的自变量 x , y 的取值范围.,例：,3、怎样求二
4、元函数的极限？,方法：,代入法、函数变形法、无穷小的性质、等价替换法等,时,当,例. 求极限,例. 求极限,例.求,4、求偏导数的方法：,z = f ( x , y ),在z = f ( x , y )中，把x看做常数，对y求导,在z = f ( x , y )中，把y看做常数，对x求导,例. 求函数,解 :,的二阶偏导数,5、如何求二阶偏导数,则,定理：,6、如何求全微分,7. 多元复合函数求导（求偏导）方法：,（1）画出变量的结构示意图,（2）写出求解公式,（3）求解,8、隐函数求导（偏导数）方法,（1）问题：,设方程,函数 y = f (x) ,求,可确定,方法：,（2）问题：,设方程,
5、z= f (x,y) ,求,方法：,可确定,（1）求偏导数：,9、,（2）求驻点：,（3）进行判别：求A、B、C,以及,（1）当积分区域D为：,X型,10、二重积分,注意：X型：先对 y 积分，后对 x 积分,（2）积分区域D为：,Y型,注意: Y型:先对 x 积分，后对 y 积分,3）二次积分的计算思路,（1）画出积分区域D,(2)判别D的类型,（3）写出求解公式：,（4）计算积分,先写积分次序，再写积分上下限,1）若区域既是 X-型又是 Y-型，,则,11、交换积分次序,交换积分次序,若给定二次积分,如何交换积分次序？,（1）由积分限画出积分区域；,D：,（2）把积分区域看成另一类型，用不等式表示；,D：,（3）写出结果,2）,方法：,例. 交换积分次序,解: 积分域为:,将 D 视为Y型区域 , 则,所以,
