《微积分ppt(华中科技大学)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分ppt(华中科技大学)课件（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020/9/25,1,一、定积分在几何上的应用,平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长 小结,2020/9/25,2,一、平面图形的面积,1 直角坐标系情形,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,2020/9/25,3,注 被积函数为上-下，上为 下为,2020/9/25,4,用微元法：,类似地,2020/9/25,5,选 为积分变量,注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线,2020/9/25,6,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2020/9/25,7,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2020/9/25,8,面积元素,曲边扇形的面积,2. 极坐标系情形,20
2、20/9/25,9,( ),d,o, +d,r =( ),元素法,1 取极角为积分变量， 其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,.,.,曲边扇形的面积,dS,S,3 作定积分,.,r,2020/9/25,10,2020/9/25,11,解,利用对称性知,2020/9/25,12,2020/9/25,13,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、空间立体的体积,1. 旋转体的体积,2020/9/25,14,旋转体的体积公式,2020/9/25,15,f(x),a,b,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y
3、=0 绕 x轴旋转,求旋转体体积,2020/9/25,16,f(x),a,b,x,.,.,111111111,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴旋转,求旋转体体积,V =,2020/9/25,17,旋转体的体积为,变化范围,2020/9/25,18,2020/9/25,19,2020/9/25,20,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴,求旋转体体积,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴,求旋转体体积,x=g(y),c,d,y,.,.,.,求旋转体体积,曲边梯形：x=g(y)，
4、x=0, y=c, y=d 绕 y轴,2020/9/25,24,解,2020/9/25,25,2020/9/25,26,f,),(,),(,2,2,p,p,p,+,2020/9/25,27,利用公式，,可知上例中,2020/9/25,28,2、平行截面面积为已知的立体的体积,从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,2020/9/25,29,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,平行截面面积为已知的立体的体积,b,2020/9
5、/25,30,解,2020/9/25,31,o,y,R,x,R,R,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/25,32,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,问题： 还有别的方法吗？,(x, y),截面积,A(x),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/25,33,o,y,R,x,R,R,方法2,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/25,34,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,
6、C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,.,S(y),半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/25,35,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,2020/9/25,36,R,x,o,y,R,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。,2020/9/25,37,R,x,o,x,A(x),A(x),V =,.,.,.,.,R,y,.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,y,2020/9/25,38,三
7、 平面曲线的弧长,1、平面曲线弧长的概念,2020/9/25,39,定理 光滑曲线弧是可求长的.,简介 光滑曲线,当曲线上每一点处都具有切线，且切线 随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为 光滑曲线。,2020/9/25,40,弧长元素,弧长,2、直角坐标情形,2020/9/25,41,所以弧长为,2020/9/25,42,设曲线弧为,弧长,3 参数方程情形,2020/9/25,43,解,的一拱的长度.,所以,2020/9/25,44,曲线弧为,弧长,4 极坐标情形,2020/9/25,45,解,2020/9/25,46,从,.,解,2020/9/25,47,恰当的选择积分变量有助于简化积分运算.,小结,1. 在直角坐标系下的面积问题,注意：,2020/9/25,48,1 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,2 旋转体的体积,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,3 弧长的公式,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,四 小结,
