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1、总 复 习,1、多元函数的定义、极限及连续性,确定极限,不存在,的方法,(1),此时即可断言极限不存在。,找两种不同趋近方式,但两者不相等,存在,第七章 多元函数微分学,2、偏导数与全微分,若不存在，则不可微，,否则转下一步；,若为0，则可微，,否则不可微。,3、复合函数求导法,则复合函数,(1) 一个方程情形(二元方程、三元方程),4、隐函数的求导法,隐函数存在定理1,设,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(2) 方程组情形,隐函数的个数=方程的个数,隐函数的自变量个数=总自变量个数 方
2、程的个数,5. 多元函数微分学的几何应用,(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形),(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形),6. 方向导数与梯度,方向导数,梯度,*,*,方向导数与梯度的关系,函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。,7. 多元函数的极值与最值,(1) 极值的必要条件,极值的充分条件,(2) 求条件极值的方法,代入法，Lagrange乘数法,*,(3) 求最值的方法,1. 求D内所有的驻点和不可导点；,2. 用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或代入法)求D的边界上的条件极值点；,3. 求D的边界的边界点；,4. 计算上面三步求出的
3、所有点的函数值，最大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。,1. 理解二重积分、三重积分的概念,第八章 重积分,2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极,3. 会用重积分求一些几何量与物理量.,了解,重积分的性质.,了解三重积分的计算法（直角坐标、,坐标)，,柱面坐标、球面坐标).,其中,二重积分,是各小闭区域的直径中的最大值.,几何意义,二重积分I表示以D为底,柱体的体积.,z =f (x, y)为曲顶, 侧面是,定义,1.,平面上有界闭区域D上二元有界函数,z = f (x, y)的二重积分,2.,当连续函数,以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶,一般情形,xOy平面上方的曲顶柱体
4、体积,减xOy平面下方的曲顶柱体体积.,物理意义,3.,若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:,它的面,密度为连续函数,性质1(线性运算性质),为常数, 则,(重积分与定积分有类似的性质),4、二重积分的性质,性质2,将区域D分为两个子域,对积分区域的可加性质.,以1为高的,性质3(几何应用),若 为D的面积,既可看成是以D为底,柱体体积.,又可看成是D的面积.,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),性质5(估值性质),为D的面积, 则,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以D为底,几何意义,域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积.
5、,设f (x, y)在闭区,(1)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,x轴对称,f (x, y)对y为奇函数, 即,f (x, y)对y为偶函数, 即,则,其中,5、对称区域上奇偶函数的积分性质,(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,y轴对称,f (x, y)对x为奇函数, 即,f (x, y)对x为偶函数, 即,则,其中,其中函数,在区间a, b上连续.,(1) 直角坐标系,先对y 后对x的二次积分,6、二重积分计算,其中函数,在区间c, d上连续.,先对x 后对y的二次积分.,交换积分次序的步骤,(1) 利用已给的二次积分的积分限得出相应的二重积
6、分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,(2) 极坐标系,其中函数,其中函数,极坐标系下区域的面积,其中函数,2、三重积分的几何意义,3、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,1、三重积分的定义,三重积分,三重积分,对称性质,则称f关于变量z的奇 函数.,关于,坐标面的上半部区域.,(偶),关于,坐标面的前半部区域.,关于,坐标面的右半部区域.,4、三重积分的计算,() 直角坐标,() 柱面坐标,注,通常是先积,再积,后积,() 球面坐标,通常是,5、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,
7、(3) 重心,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯量,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,(5) 引力,6、三重积分的应用,() 重心,() 转动惯量,第九章 曲线积分与曲面积分,曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.,2. 会计算两类曲线积分.,曲线积分与路径无关的条件.,1. 理解两类曲线积分的概念,了解两类,3. 掌握格林(Green)公式,会使用平面,(Gauss) 、,5.了解散度、旋度的概念及其计算,6. 会用曲线积分、,4. 了解两类曲面积分的概念及高斯,并会,计算两类曲面积分.,斯托克斯(Stokes)公式,方法.,曲面积分求一些,几何量与物理量.,
8、格林公式,思路,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,第二类曲线积分,的计算法,如果曲面方程为以下三种：,第一类曲面积分,曲面积分,则,则,则,第二类曲面积分,其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。,其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。,其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,两类关系,高斯公式,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,2. 通量与散度,G 内任意点处的散度为,斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,斯托克斯( Stokes ) 公式,2. 旋度,第二类曲面积分的计算法,1.
9、 利用Gauss公式,具有,则,外侧.,一阶连续偏导数,具有一阶连续偏导数,则,2.,上侧为正，下侧为负。,常数项级数,函数项级数,交 错 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,第十章 无穷级数,定义,1、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,(2) 比较审敛法的极限形式,定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.,2、交错级数及其审敛法,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,3、任意项级数及其审敛法,4、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛
10、域,(3) 和函数,(1) 定义,5、幂级数,(2) 收敛性,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.和函数的分析运算性质:,(4) 幂级数展开式,充要条件,唯一性,展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,常见函数展开式,应用,a.近似计算,b.欧拉公式,(1) 三角函数系,三角函数系,6、傅里叶级数,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,其中,称为
11、傅里叶级数.,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),(4) 正弦级数与余弦级数,奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,第十一章 微分方程,一阶微分方程,可分离变量方程,齐次方程,(可化为齐次方程的方程),一阶线性微分方程,2. 可降阶的高阶微分方程,Bernoulli方程,全微分方程,4. 常系数线性微分方程,(齐次，非齐次),3.线性微分方程解的结构,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解如果微分方
12、程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,齐次方程,否则为非齐次方程,(3) 可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,是两直线,的交点,(4) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（使用常数变易法）,(5)
13、伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,解法,应用曲线积分与路径无关., 用直接凑全微分的方法.,通解为,其中,形如,(6) 全微分方程, 用不定积分的方法.,(7) 可化为全微分方程,形如,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,常见的全微分表达式,可选用积分因子,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特点,型,解法,代入原方程, 得,4、高阶线性微分方程解的结构,(1) 齐次线性微分方程解的结构,解的叠加性：,是方程(1)的解，,也是(1)的解，其中,是(1)的通解，其中,通解的结构：,是方程(1)的n个线性无关的解,(2) 非齐次线性微分方程解的结构,（可推广到n阶非齐次线性微分方程）,解的性质：,设,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,通解的结构：,5、二阶常系数线性齐次微分方程的解法,特征方程:,实根,（以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）,特征方程为,n阶常系数齐次线性方程解法：,6、二阶常系数线性非齐次微分方程,通解为,特解 待定系数法,
