微机控制原理 第六章 数字控制器的离散化设计课件

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1、微型计算机控制技术,第六章 数字控制器的离散化设计,主要内容,1、采样系统基础 2、数字控制器离散化设计步骤 3、最少拍控制器的设计 4、最少拍无波纹控制器的设计 5、达林算法,数字控制器的模拟化设计的基本思想是在连续时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器，再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制器。 这种方法一般要求采样周期尽量小（T越小，离散系统越接近连续系统）。对控制品质要求不高，且模拟控制器比较简单时，该方法有效。,当计算机控制系统对控制品质要求比较高，或者由于控制任务的需要选择比较大的采样周期时，则必须从被控对象的特性出发，将被控对象进行离散化变成离散系统，根据计算机控制理论(采样

2、控制理论)来设计数字控制器，这类方法称为数字控制器的离散化设计或数字控制器直接设计。 离散化设计比连续化设计更具有一般意义，它完全是根据离散控制系统的特点进行分析和综合，并得出相应的控制规律和算法。,6.1 采样系统基础,1、采样系统的Z变换 对连续信号x(t)进行周期为T的采样，可以得到采样信号x*(t)，它也可以看作是连续信号对脉冲系列的调制，即 对上式进行拉氏变换，可以得到 引入记号 由上式可以定义一种新的变换 它称为采样信号的Z变换,典型信号的Z变换 （1）单位脉冲函数 （2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数 （4）单位加速度函数 （5）典型输入函数,Z变换的性质 线性定理 延迟定理

3、超前定理 初值定理 终值定理 卷积定理,2、Z传递函数 设离散系统的输入脉冲系列为xi，输出脉冲系列为yi，它们的Z变换分别为X(z)和Y(z)，则可定义该离散系统的Z传递函数为 Z传递函数也称为脉冲传递函数，它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能。 Z传递函数的求解步骤（已知系统的连续传递函数G(s)） （1）根据G(s)求出系统脉冲响应函数 （2）确定系统脉冲响应函数在采样时刻t=iT的值gi （3）根据Z变换定义得到系统的Z传递函数,3、采样系统的稳定性 如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单位圆内，则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一有限

4、值； 如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡； 如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散,4 差分方程,采样系统的数学模型用差分方程描述。 差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。 差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、，以及输入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、，所构成。（ k = 0, 1, 2, ） 序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为当前时刻，而(k-1)

5、T为前一采样时刻。,差分方程的建立：,数字系统中，由算法决定。 连续系统被采样时： 首先在时域内求出微分方程 将采样序列代入方程 用差分代替求导 用求和代替积分 例：惯性系统 被采样后的差分方程：,6.2 数字控制器离散化设计步骤,1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数(z) 2、求广义对象的脉冲传递函数G(z) 3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z),4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式 设数字控制器D(z)的一般形式为： 数字控制器的输出U(z)为： 将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器D(z)的计算机控制算法为： 按照上式，就可编写

6、出控制算法程序。,6.3 最少拍控制器的设计,所谓最少拍控制，就是要求所得到的闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数式有如下的形式： 式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。 最少拍控制实质上是时间最优控制，最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统。最少拍控制常应用于随动系统，伺服系统、运动控制中。,最少拍控制系统设计的要求 （1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差 （2）在各种使系统在有限拍内到达

7、稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少 （3）数字控制器必须在物理上可以实现 （4）闭环系统必须是稳定的,设计步骤 （1）求广义对象的脉冲传递函数G(z) （2）确定所需要的闭环脉冲传递函数(z) （3）确定数字控制器的脉冲传递函数D(z) （4）根据D(z)求取控制算法的递推计算公式,1最小拍数字控制器设计 误差E(z)的脉冲传递函数为： 典型输入函数 对应的z变换,根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为 由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e()为零，必须有 e(z)=1-(z)=(1-z-1)q F(z) (z)=1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z

8、) 这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。 为了使(z)能够实现， F(z)中的首项应取为1，即： F(z)=1+fz-1+f2z-2+fpz-p,显然，(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。 特别当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍 (q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择(z)为： (z)= 1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z)=1-(1-z-1)q 最少拍控制器D(z)为：,2、典型输入下的最少拍控制系统分析 （1）单位阶跃输入（q =1） 输入函数r(t)=1，其z变换为： 由最少

9、拍控制器设计时选择的系统闭环传函为： 误差函数： 进一步得到系统输出为： 上两式说明系统只需1拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差为零，系统进入稳态。,（2）单位速度输入（q =2） 输入函数r(t)=t，其z变换为： 由最少拍控制系统闭环传函为： 误差函数： 进一步得到系统输出为： 以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。,（2）单位加速度输入（q =3） 输入函数r(t)=(1/2)t，其z变换为： 由最少拍控制系统闭环传函为： 误差函数： 系统输出为： 以上两式说明，上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。,例1：已知被控

10、对象为： 采样周期T=1s，输入为单位速度 求：最少拍数字控制器 解：对象广义的脉冲传递函数为：,在单位速度输入下，最少拍控制系统闭环传函为： 最少拍控制器D(z)为： 结果分析： 系统的误差为： 系统输出为：,单位速度输入下输出和误差变化波形,单位阶跃输入时：,单位加速度输入时：,单位斜坡输入仿真,误差,输出响应,单位阶跃输入仿真,误差,输出响应,单位加速度输入仿真,误差,输出响应,最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。 一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数(z)，用于次数较低的

11、输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。 反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。 由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。,3、最少拍控制器设计的限制条件 前面的关于最小拍控制器的设计要求广义对象的脉冲传递函数G(z)是稳定的，在单位圆上和单位圆外没有零、极点，并且没有纯滞后因子。 (1)最少拍控制的物理实现问题 数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z的正幂次项，即不能含有超前环节。否则在控制算法中，将出现未来时刻的偏差值。,假设广义对象存在纯滞后，

12、脉冲传递函数为： 控制器的传递函数为： 为了保证控制器中不存在超前环节，当广义对象分子中存在z-r时，则闭环脉冲传递函数分子中也应包含z-r,（2）最少拍控制的稳定性问题 1)当广义对象中存在单位圆上和单位圆外的不稳定零点时，为了避免控制器不稳定，闭环脉冲传递函数(z)必须包含广义对象G(z)中不稳定的零点。,（2）最少拍控制的稳定性问题 2)当广义对象存在单位圆上和单位圆外不稳定极点时，由于 不能简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点。虽然理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不

13、可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。,设不稳定对象的z传递函数为,最小拍控制器为,若实际系统的不稳定极点与pi有偏差pi,对应的闭环Z传递函数为,为解决这个问题，应采用误差脉冲传递函数e(s)的零点抵消G(z)中不稳定的极点。 e(z)=1-(z)=(1-piz-1)(1-z-1)q F(z),它的极点取决于pi， pi =0时，不稳定极点pi能被零点对消； pi 0但充分小时，由于极点是随分母多项式的系数连续变化的，闭环系统将有一个十分接近pi的单位圆外的极点，这一极点不能被零点对消，将引起闭环系统的不稳定。,系统的误差z传递函数为,对应的闭环Z传递函数为,pi0时，*(z) (z)，系

14、统稳定。,最小拍控制器设计小结： （1）为了实现无静差，必须针对不同的输入选择不同的误差脉冲传递函数e(z)。通常e(z)=(1-z-1)q F(z)。 （2）为了保证闭环系统的稳定性，e(z)的零点应包含广义对象脉冲传递函数G(z)中所有不稳定的极点。 （3）为了保证数字控制器能够实现，G(z)所有不稳定零点和滞后因子应包含在闭环脉冲传递函数(z)中。 （4）为了实现最小拍控制， F(z)应尽可能简单。 F(z)的选择必须满足： (z)=1-e(z),例2：已知被控对象的传递函数为： 设采样周期T=0.5秒，设计单位阶跃输入时最小拍数字控制器D(z) 解：系统广义对象的脉冲传递函数G(z)为

15、 G(z)中包含单位圆外零点z=-1.4815和一个滞后因子z-1。,根据最小拍控制设计的条件，可假设： e(z)=(1-z-1)F(z) (z)=1-e(z)=az-1(1+1.4815z-1) 由于(z)和e(z)为同阶多项式。可以简单的取F(z)=1+bz-1。可得： 1-(1-z-1)F(z)= az-1(1+1.4815z-1) (1-b)z-1+bz-2=az-1+1.4815az-2 比较系数可得：,数字控制器的脉冲传递函数为： 单位阶跃输入下，系统输出的Z变换为： 在单位阶跃输入下，系统误差的Z变换为：,练习：参考例6-1对本例进行仿真,6.4 最少拍无波纹控制器的设计,在前面

16、的最小拍控制器的设计中，只是保证在采样点上的稳态误差为零，不能保证在采样点之间的误差值也为零。在许多情况下，系统在采样点之间的输出会出现波纹。输出波纹不仅会造成误差，使实际控制不能达到预期目的，而且增加了执行机构的功率损耗和机械磨损。 纹波产生的原因是在稳态时，控制量U(k)不是恒定值，而是波动的，从而造成输出有波动。 最少拍无纹波设计就是要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波，输出误差为零，控制量保持恒定。,例如在例1中，控制对象为 采样周期为1秒。 广义对象的脉冲传递函数为： 考虑简单的单位阶跃输入情况下设计最小拍控制有：,系统输出： 系统误差： 控制量： 由于控制量在稳态不为恒定值，在非采样点，系统的输出产生纹波。,误差(黑)与控制器(蓝)输出,给定(蓝)与系统响应(黑),系统输出在采样点之间的波纹，是由控制量序列的波动引起的，其根源在于控制量的Z变换中含有非零极点。 最少拍无波纹系统的设计，对期望闭环响应(z)进行修正，使控制量在稳态不发生波