微分方程模型应用课件

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1、微分方程模型,在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。,建立微分方程模型的方法,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,（3）模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很

2、清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,微分方程模型,古尸的年代鉴定问题 伪造名画案 放射性核废料处理问题 流入-流出问题 人口问题 生物种群模型 兰彻斯特（Lanchester） 作战模型,在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？,一 古尸年代鉴定问题,年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比

3、（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。,背景,宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的 。从古至今，碳 不断产生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。 大气中 处于动态平衡状态， 经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。,基本原理,从星际空间射到地球的射线,裂变速率与剩余量成正比。 Kc14=1/8000,设 t 为死后年数，,建模,年代测定的修订：,1966年，耶鲁实验室的Minze Stuiver和加利福

4、尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代： 真正的年代,年代测定方法的基本原理； 放射性元素衰变规律。,注意：,以前 ，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后仍到水深为300英尺的海里。,1 问题（这是一场笔墨官司）:,生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？,美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）

5、。,又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？,美国原子能委员会：决不会。,二 放射性核废料处理问题,圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英 尺/秒？,若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时， 就会因碰撞而破裂。,这几位工程师通过大量的实验证明:,通过建立数学模型来解决这一问题。,一些参数及假设：,假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即,受力分析：,x,y,G,f,o,2 建模与求解,根据牛顿第二定理,可解得：,极限速度为：,将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于,代入：,其解为：,仍未解出 v 是 y 的显函数。,由近似公式,3 结论：,若圆桶

6、与海底的碰撞速度超过40英尺/秒， 会因碰撞而破裂。,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。,我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。,4 注意：,求解过程,方程变形，近似计算,讨论,1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的0.7757倍，据此，你能推断出此女尸下葬的年代吗？,已知碳-C14的半衰期为5730年。,第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合

7、作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。,三 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案,为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，

8、终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。 这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。,原理,著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为 ，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出，只要知道 就可

9、算出,这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。,断代。,油画中的放射性物质,白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,（放射性）,（无放射性）,假设,（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅

10、中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率 ，再与当时的矿物比较，以鉴别真伪。,注：矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。,测定结果与分析,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,同理可检验

11、第2，3，4幅画亦为赝品， 而后两幅画为真品。,一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。,通过解决此问题想到什么？,四 流入-流出问题,B,A,第一步列方程,等量关系：,水面1,水面2,设时刻 的水面高度为,时的水面高度为,时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。,是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离,初始条件,可分离变量的方程。,第二步解方程,水面高度与时间的函数关系,水流空所需时间为（令 h=0 ）,某大楼人员的安全疏散问题,1 大楼所容纳的人数全部走出

12、所用的时间？ 2 两大因素：人走出的速度？ 出口的设置？,思考1,一截面积为常数A，高为H的水池，其池底有一横截面积为B的小孔，水池顶部有进水孔，单位时间进水量为 V ，从小孔流出的水速为 ，求在任一时刻的水面高度（设开始时水池水的高度为 ）。,等量关系：,水池的积水量 = 进水量 - 出水量 。,时间的,初始条件,可分离变量方程,平衡高度,当,其中,当,其中,当,水池水面高度保持平衡高度，即此时流入池 中水量等于流出的水量。,单位人员管理问题,合理安排进人速度和出人速度，使得单位人 员的利用率达到最高。,单位资金管理问题,当收入资金速率一定时，合理安排支出，使 得在某段时间内资金积累达到所需

13、要求。,森林管理问题,主要协调植树和用材的关系，使得森林发挥 其应有的作用。,渔业管理问题,每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持 续发展，还能有较大的收获量。,交通管理问题等,思考2,屋檐的水槽问题,房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在,b,a,房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。,现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），不论天气情况如何

14、，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。,b,a,1 问题的简化,水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。,从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。,水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。,2 假设,（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上； （2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中； （3）直接落入水槽中的雨水可忽略不计； （4）落在房顶上的雨没有溅到外面去； （5）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍。 例如落在房顶上的杂物、树叶等。,3 符号说明,4 模型的建立,根据速度平衡原理，对于房顶排水系统,水槽中水的

15、容量的变化率 =雨水的流入速度 - 排水管流出的速度,分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。,表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，,雨,水流,b,房顶的面积,实际受雨的水平面积,房顶上雨水的流速,流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量,-,排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关,根据能量守恒原理,水槽中水的体积为,h,5 模型的求解与分析,思考3,街道下水道的布局问题,降雨时期，街道积水达到一定程度，不但给过往行人、车辆带来不便，而且容易引发交通事故。通常，在降雨强度不大的情况下，街道下水口能发挥很好的作用，然而在暴雨天气，有些街道就会积水成河，造成交通阻塞等危害。合理的下水口布局应

16、当是在强降雨情况下，也能保证街道上积水适量，不至于影响正常的行人及车辆通行。可以想象，街道上的下水口愈多，单位时间排走的雨水也就愈多，但同时，安装下水口及与之相应的铺设下水管道的费用也就愈多。因此，合理布局街道（特别是一些路况复杂的街道）下水口是城市道路建设中的重要问题。,试解决以下两个问题： 1在费用尽可能少的情况下，如何合理布局街道下水口，才能在强降雨时期避免水灾； 2现在测量得到西安市的四条含交叉路口（小寨十字路口）的街道下水口布局情况，请研究其布局是否合理，若不合理，请给城市道路管理部门提出合理化建议（已知小寨南路南端比十字路口高1米，小寨北路北端比十字路口高0.8米，小寨东路东端比十字路口高0.5米，小寨西路西端比十字路口高0.4米）。,讨论课,1 平板车装箱问题,2 揪出泄密三人帮,讨论课,有7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的