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1、椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1
2、）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接
3、近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；知识点四：椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭
4、圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以
5、只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的
6、、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。（一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆
7、，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 椭圆的准线方程左准线 右准线（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径） （右焦半径） 其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则 弦长 例1. 已知椭圆及直线yxm。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m
8、的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆1(ab0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B都在椭圆上，两式相减得0，0，即.故kAB.例、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。（四）、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆C：内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求PA+PF的最小值。2： 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求PA+PF|的最大值与最小值。3：已知椭圆外一
9、点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求|PA|+的最小值。4：定长为d()的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。三种方法1：椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 。2：已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦 点为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。3：过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。 课后同步练习1.椭圆的焦点坐标是 , 离心率是_，准线方程是_.2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于
10、M、N两点，则MNF2的周长为( )A8 B16 C25 D323.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）A.5 B.6 C.4 D.104.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. 5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0，+） B.(0,2) C.(1,+) D.(0,1) 6设为定点，|=6，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 7.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .8.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭
11、圆标准方程是_ _9.过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是_ _ 10.过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是_ _ _11.若椭圆的离心率是，则k的值等于 .12.已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 .13.F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 14.设M是椭圆上一点，F1、F2为焦点，则 15.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A) (B) (C) (D)16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（ ）（A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要17.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 。 ;18、已知定点A（a，0），其中，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a的值。19、已知F1F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任一点.(1)若F1PF2=,求F1PF2的面积。(2)求|PF1|PF2|的最大值。8
