《北师大版九年级数学下册第二章二次函数小结与复习课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九年级数学下册第二章二次函数小结与复习课件（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 二次函数,小结与复习,北师大版九年级数学下册,第2章复习1 知识归类,知识归纳,1二次函数的概念 一般地，形如 (a，b，c是常数， )的函数，叫做二次函数 注意 (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数,yax2bxc,a0,a0,开口向上; a0,开口向下.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左
2、侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,抛物线y = ax2的性质,知识归纳,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x
3、的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象和性质.,由|a|来决定， |a|越大，开口越小， |a|越小，开口越大。,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧
4、,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大
5、而减小.,根据图形填表：,二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c 0 时 向上平移|c|个单位得到. 当c 0 时 向下平移|c|个单位得到.,上加下减,一般地,由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的. 左加右减 上加下减,小结：,二次函数y=ax2+bx+c 的系数a、b、c与图象的关系,a决定图象的形状,b影响对称轴的位置,当b=0时，对称轴为 .表达式是 .,当ab0时，对称轴在y轴
6、.,当ab0时，对称轴在y轴 .,y轴,左侧,右侧,3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则： a 0,b 0.,y=ax2+c,c 确定图象与y轴的交点：（0，c),当c0时图象过 .表达式是 .,当 c 0时图象与y轴 半轴相交,当c 0时图象与y轴 半轴相交,原点,正,负,y=ax2+bx,二次函数表达式有哪几种表达方式？,一般式：y=ax2+bx+c,顶点式：y=a(x-h)2+k,如何求二次函数的表达式？,已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.,交点式：y=a(x-x1)(x-x2),知识盘点,一、 求二次函数的解析式的一般步骤：,一设、二列、三解、四还
7、原.,二、二次函数常用的几种解析式的确定,1、一般式,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,y=ax2+bx+c,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1) (x-x2),y=ax2 (a0),y=ax2+c (a0),y=a(x-h)2+k (a0),y=ax 2+bx+c (a0),y=a(
8、x-h)2 (a0),顶点式,一般式,y=a(x-x1)(x-x2)(a0),交点式,不同二次函数表达式的特点,已知抛物线与x轴的交点坐标分别是x1,x2，则选择交点式。,y=ax 2+bx (a0),顶点在原点,对称轴是y轴,图象经过原点,顶点在x轴上,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,复习,当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.,有两个交点,有两个不同的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac
9、= 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴（直线y=0）的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=k的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=k的根.,y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c关于y轴对称 y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c关于x轴对称 y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k关于y轴对称 y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于x轴对称,关于坐标轴对称,复习,1.配方法求最值 二次函数表达
10、式的顶点式是 ，若a0，则当x= 时，y有最大值 。,y=ax+bx+c (a 0),y=a(x-h)2+k (a 0),应用：,h,k,2.公式法求最值 二次函数表达式的一般式是 ， 若a0，则当x= 时，y有最大值 。,深思熟虑,1.在坐标平面内,点(-2,3)向右平移3个单位坐标为( , ),再向下平移2个单位得( , )继续向左移5个单位得到( , ) 2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得到图象的解析式为 ,再向下平移2个单位得 ,继续向左移5个单位得到 .,1 3,1 1,-4 1,y=-2(x-1)2+1,y=-2(x-1)2+3,y=-2(x+4)2+1,抛物线的
11、平移,3.已知抛物线C1的解析式是y=2x2- 4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式 。,4、若二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a 0 ,当x= 时，函数有最大值 .,5、二次函数y=4x2-mx+5，当x-2时，y随x的增大而减小，当x-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是 .,y= -2x2+4x-5,-3,0,m= -16,25,6. 抛物线y = x2 + 2x - 4 的对称轴是_, 开口方向是_, 顶点坐标是_.,7. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物 线的解析式为_,y=-
12、x2+1,直线x = -1,向上,（-1，-5）,二次函数的图象与性质,【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0 的两根分别为-3和1；a-2b+c0. 其中正确的命题是_.(只要求填写正确命题的序号),【思路点拨】,【自主解答】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时，y=a12+b1+c=a+b+c=0，所以正确； 由于二次函数的对称轴为x=-1,所以- =-1,所以b=2a,故不正确； 由对称轴及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为 (-3，0)，所以ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故
13、正确； 当x=-1时，y0，得b0，a-2b+c0，故错误.因此正确的命题是. 答案：,1.下列四个函数图象中，当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是( ) 【解析】选D.x0时，即在y轴的左侧，y随x的增大而减小.,2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则下列结论中，正确的是( ) (A)a0 (B)b0 【解析】选D.抛物线开口向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0， 当x=1时，y0，即a+b+c0.,二次函数的图象的平移,【例2】抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是( ) (A)先向左平移2个单
14、位，再向上平移3个单位 (B)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 (C)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 (D)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位,【思路点拨】 【自主解答】选B.根据y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的，其平移规律是“左加右减，上加下减”得抛物线y=(x+2)2-3可由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到.,3.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的关系式是( ) (A)y=-(x+2)2 (B)y=-x2+2 (C)y=-(x-2)2 (D)y=-x2-2 【解析】选A.抛物线y=a(x+h)2+k可以由y
15、=ax2经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减，k上加下减”即自变量加减左右移，函数加减上下移.,4.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_. 【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根据平移的规律得平移后的抛物线为y=(x-1-4)2-1+3=(x-5)2+2=x2-10 x+27. 答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10 x+27,二次函数表达式的确定,【例3】如图，抛物线y= x2+bx-2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点， 且A(-1，0). (1)求抛物线的关系式及顶点D的坐标； (2)判断ABC的形状，证明你的结论； (3)点
16、M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.,【自主解答】(1)把点A(-1，0)的坐标代入抛物线的关系式 y= x2+bx-2, 整理后，解得b=- , 所以抛物线的关系式为 顶点D的坐标为 (2)ABC是直角三角形.由y= 得 B(4，0)，AB=5，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2.ABC是直角三角形.,(3)作出点C关于x轴的对称点C,则C(0，2)，OC=2. 连接CD交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时MC+MD的值最小. 设抛物线的对称轴交x轴于点E，则COMDEM. ,5.已知二次函数y=ax2bx-3的图象经过点A
