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1、 欧拉积分及其应用 专业：数学与应用数学(师范类)班级：2012级姓名：唐颖 沈阳大学毕业设计（论文）目 录引 言31 预备知识.52 欧拉积分的性质.72.1 函数的性质.72.1.1函数的定义域.72.1.2函数的连续性.82.1.3函数的可微性.92.1.4函数的递推公式.112.1.5函数的极值与凸性.122.1.6函数的延拓.132.2 函数的性质.132.2.1函数的定义域.132.2.2函数的连续性.142.2.3函数的可微性.152.2.4函数的对称性.152.2.5函数的递推公式.162.2.6函数的其他形式.172.3 函数和函数的联系.183 欧拉积分的应用.203.1欧
2、拉积分在数学分析中的应用.203.2欧拉积分在概率和统计中的应用.223.3欧拉积分在微分方程中的应用.253.4欧拉积分在物理中的应用.263.4.1函数在李超代数相干态表示当中的应用.263.4.2函数在半导体物理中的应用.27结 论.29致 谢.30参考文献.31 沈阳大学毕业设计（论文）摘 要 欧拉积分是由含参变量的反常积分定义的两个十分重要的非初等函数，在理论与实践上，它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域，充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽
3、马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的某些性态以及伽马函数和贝塔函数的内在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明通过典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决某些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概率和统计、微分方程中的相关问题，沟通知识间的内在联系同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具关键词：欧拉积分；一致收敛；连续性；可微性Abstract Euler integral is two important elementary function defin
4、ed by improper integral containing parameper,on the theory and practice,it is second only to the elementary function,its application is very wideHowever,the study on the properties of Euler integral is far more complex than the ones of elementary functionIn order to have a more comprehensive and sys
5、temic knowledge of Euler integral,and in order to explore the application of Euler integral,make full use of the Euler integral value,on the base of the deep understanding of gamma function and beta function,this paper summarizes the domain,the continuity,the differentiability,the recurrence formula
6、,the inner link of gamma function and beta function,the nature and so on of two kinds of function,and gives strict theoretical proofTypical examples illustrate that the use of the properties of the gamma function and beta function can effectively solve some definite integral calculation problem with
7、 special types,effectively solve the related problems in differential equation,probability and statistics,communicate the intrinsic relationship between knowledgesAt the same time,we apply the gamma function and beta function to physics,they provide the related problems a powerful tool in physicsKeywords:Euler integral; uniform convergence; continuity; differentiability引 言莱昂哈德欧拉于1707年4月15日在瑞士出生，他被公认与阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”阿拉戈也曾说过：“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行
