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1、第3讲导数的简单应用(小题),专题六函数与导数,主要内容,热点分类突破,真题押题精练,热点一导数的几何意义,热点二利用导数研究函数的单调性,热点三利用导数研究函数的极值、最值,1,热点一导数的几何意义,应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f(x)与f(x0)的区别与联系，f(x0)表示函数f(x)在xx0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上.,(2)(2019东莞调研)设函数f(x)2x3(a3)xsin xax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.yx B.y2x C
2、.y3x D.y4x,解析函数f(x)2x3(a3)xsin xax， 若f(x)为奇函数， 可得a3，所以函数f(x)2x33x， 可得f(x)6x23， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率为3， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为y3x.,跟踪演练1(1)(2019六安联考)曲线f(x)aln x在点P(e，f(e)处的切线经过点(1，1)，则a的值为 A.1 B.2 C.e D.2e,又f(e)a，,又该切线过点(1，1)，,(2)若直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则实数b_.,解析设直线ykxb与曲线yln x1和曲线yln(x2)的
3、切点分别为(x1，ln x11)，(x2，ln(x22). 直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，,ln 2,热点二利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数单调性的关键： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.,例2(1)(2019郑州质检)函数f(x)是定义在0，)上的函数，f(0)0，且在(0，)上可导，f(x)为其导函数，若xf(x)f(x)ex(x2)且f(3)0，则不等式f(x)0的解集为 A.(0,2) B.(0,3)
4、C.(2,3) D.(3，),解析函数f(x)在(0，)上可导，f(x)为其导函数， 令g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)ex(x2)， 可知当x(0,2)时，g(x)是单调减函数， x(2，)时，函数g(x)是单调增函数， 又f(3)0，f(0)0，则g(3)3f(3)0，且g(0)0， 则不等式f(x)0的解集就是xf(x)0的解集， 不等式的解集为x|0x3.,(2)(2019江西红色七校联考)若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是 A.(，1 B.(，1) C.(，2 D.(，2),解析f(x)6x26mx6， 由已知条件知，当x(
5、1，)时，f(x)0恒成立， 设g(x)6x26mx6， 则g(x)0在(1，)上恒成立. 方法一若36(m24)0， 即2m2，满足g(x)0在(1，)上恒成立； 若36(m24)0，即m2，,m2， 综上得m2， 实数m的取值范围是(，2.,所以m2.,跟踪演练2(1)(2019上饶模拟)对任意xR，函数yf(x)的导数都存在，若f(x)f(x)0恒成立，且a0，则下列说法正确的是 A.f(a)f(0) C.eaf(a)f(0),解析令g(x)exf(x)， 则g(x)exf(x)f(x)0， 所以g(x)在R上单调递增， 因为a0，所以g(a)g(0)， 即eaf(a)f(0).,令g(
6、x)ax22ax1， 因为函数f(x)在(1,3)上不单调， 即g(x)ax22ax1在(1,3)上有变号零点， a0时，显然不成立，,它的充分不必要条件即为其一个子集.,热点三利用导数研究函数的极值、最值,利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题： (1)不能忽略函数f(x)的定义域； (2)f(x0)0是可导函数在xx0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小； (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.,例3(1)(2019东北三省三校模拟)若函数f(x)exax2在区间(0，)上有两个极值点x1，
7、x2(0x1x2)，则实数a的取值范围是,解析f(x)exax2，可得f(x)ex2ax， 要使f(x)恰有2个正极值点， 则方程ex2ax0有2个不相等的正实数根，,当x0时，g(x)；当x时，g(x)，,所以使函数f(x)exax2在区间(0，)上有两个极值点x1，x2(0x1x2)，,(2)(2019丹东质检)直线ym与直线y2x3和曲线yln 2x分别相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_.,2,解析如图，设直线ym与y2x3的交点为A，直线ym与yln 2x的交点为B，,当m0时，f(m)0，f(m)单调递增， 所以当m0时，f(m)取得极小值，也是最小值，,跟踪演练3(1)(20
8、19天津市和平区质检)已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(1)0，f(1)0，但x1不是函数的极值点，则abc的值为_.,9,解析f(x)3x22axb， f(1)32ab0， 又f(1)1abc0， 由x1不是f(x)的极值点， 得f(x)0有两个相等的实数根， 4a212b0， 由解得a3，b3，c1， abc9.,即 ax0a0， f(x0)0， 函数f(x)在(，x0)上为减函数，在(x0，)上为增函数， 则f(x)的最小值为f(x0) 1， 即 ,令g(x)exaxa，则g(x)exa0， g(x)在(，)上为增函数，,押题预测,真题体验,2,真题体验,1.(2017山东，文，1
9、0)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是 A.f(x)2x B.f(x)x2 C.f(x)3x D.f(x)cos x,解析若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立， 即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立. 对于选项A，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意. 经验证，选项B，C，D均不符合题意.,2.(2019全国，文，10)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为 A.xy10 B.2xy210 C
10、.2xy210 D.xy10,解析设yf(x)2sin xcos x， 则f(x)2cos xsin x， f()2， 曲线在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)， 即2xy210.,1.曲线y2xln x在xe处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,押题预测,解析y2xln x，y2ln x2x2ln x2， 所以y|xe224，且y|xe2e， 所以切线方程为y2e4(xe)，即y4x2e，,2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)f(x)0，f(0)1，则不等式exf(x)1的解集为 A.(，0) B.(0，) C.(，1) D.(1，),解析令g(x)exf(
11、x)， 因为f(x)f(x)0时，g(x)1，即exf(x)1的解集为(0，).,3.已知函数f(x)(x3)exa(2ln xx1)在(1，)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(e，) B.(e,2e2) C.(2e2，) D.(e,2e2)(2e2，),解析由题意，函数f(x)(x3)exa(2ln xx1)，,又由函数f(x)在(1，)上有两个极值点， 则f(x)0在(1，)上有两个不同的实数根，,即xexa0在(1，)上有不等于2的解， 令g(x)xex，x1，则g(x)(x1)ex0， 所以函数g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以ag(1)e且ag(2)2e2， 又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f(x)0在(1,2)上恒成立，,即xexa0在(1,2)上恒成立， 即axex在(1,2)上恒成立， 又由函数g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以ag(2)2e2， 综上所述，可得实数a的取值范围是a2e2， 即a(2e2，).,课题结束 谢 谢,
